termine os valores máximos e minimos locais e pontos de são f(x, y) = x^3 + 12 * x * y + 8 * y^3. Lembre de justificar o ontrados.

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de cálculo multivariable. O que a gente precisa é encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.

Passo 4

Vamos simplificar a equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 5

Agora, substituímos na equação (3):
Isso nos dá:

Passo 6

Para :
Para :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 7

Vamos usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais.
O discriminante é dado por:

Passo 8

Vamos calcular nos pontos críticos.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , o ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de sela em .
  • Um ponto de máximo local em .

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