termine os valores máximos e minimos locais e pontos de são
. Lembre de justificar o ontrados.
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de cálculo multivariable. O que a gente precisa é encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Passo 4
Vamos simplificar a equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Passo 5
Agora, substituímos
na equação (3):
Isso nos dá:
Passo 6
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Vamos usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais.
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
nos pontos críticos.
Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
. - Um ponto de máximo local em
.
Exercícios relacionados
caixa netangular sem tampa deve conter um volume m
. Determine as dimensões que minimizem a quan là grasto. Justifique que o valor encontrado é de fato fi minimo absoluto.
Calcuade wía/ whe onvio a
o
.
Considere a função
em que
.
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
III. Se a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
II. Para todo
III. Se
Escolha uma opção:
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j)
j)