termine os valores máximos e minimos locais e pontos de são
. Lembre de justificar o ontrados.
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de cálculo multivariable. O que a gente precisa é encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Passo 4
Vamos simplificar a equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Passo 5
Agora, substituímos
na equação (3):
Isso nos dá:
Passo 6
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Vamos usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais.
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
nos pontos críticos.
Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
. - Um ponto de máximo local em
.