Considere a função
em que
.
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo
, essa função não possui máximo local.
III. Se
a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
II. Para todo
III. Se
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Temos uma função de duas variáveis:
onde
. Precisamos julgar três afirmações sobre os pontos críticos dessa função e determinar qual alternativa está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar e classificar pontos críticos de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Da equação (1):
Assim, temos
ou
.
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante de Hessian
é dado por:
Vamos avaliar
e
nos pontos críticos para determinar a natureza de cada ponto.
Passo 4
Analisando os pontos críticos:
-
Ponto
: Dependendo do valor de: - Se
: ⇒ ponto de sela. - Se
: e ⇒ mínimo local.
- Se
-
Pontos
e : E- Se
: e ⇒ mínimos locais. - Se
: ⇒ pontos de sela.
- Se
Passo 5
Analisando as afirmações:
I. Se
, a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
- Confirmado: temos dois mínimos nos pontos
e , e um ponto de sela em . - Verdadeiro
II. Para todo
, essa função não possui máximo local.
- Observando os pontos críticos:
- Para
: apenas dois mínimos e um ponto de sela. - Para
: um mínimo e dois pontos de sela. - Para
: infinitos pontos críticos ao longo de , mas nenhum máximo local.
- Para
- Verdadeiro
III. Se
, a função tem mais de 20 pontos críticos.
- Se
: Todas as coordenadas x são críticas, ou seja, infinitos pontos críticos na forma . - Verdadeiro
Resposta
Todas as afirmações I, II e III são corretas.
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