Considere a função
em que .
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
III. Se a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Temos uma função de duas variáveis:
onde . Precisamos julgar três afirmações sobre os pontos críticos dessa função e determinar qual alternativa está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar e classificar pontos críticos de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Da equação (1):
Assim, temos ou .
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante de Hessian é dado por:
Vamos avaliar e nos pontos críticos para determinar a natureza de cada ponto.

Passo 4

Analisando os pontos críticos:
  1. Ponto :
    Dependendo do valor de :
    • Se : ⇒ ponto de sela.
    • Se : e ⇒ mínimo local.
  2. Pontos e :
    E
    • Se : e ⇒ mínimos locais.
    • Se : ⇒ pontos de sela.

Passo 5

Analisando as afirmações:
I. Se , a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
  • Confirmado: temos dois mínimos nos pontos e , e um ponto de sela em .
  • Verdadeiro
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
  • Observando os pontos críticos:
    • Para : apenas dois mínimos e um ponto de sela.
    • Para : um mínimo e dois pontos de sela.
    • Para : infinitos pontos críticos ao longo de , mas nenhum máximo local.
  • Verdadeiro
III. Se , a função tem mais de 20 pontos críticos.
  • Se : Todas as coordenadas x são críticas, ou seja, infinitos pontos críticos na forma .
  • Verdadeiro

Resposta

Todas as afirmações I, II e III são corretas.

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