Calcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitados pelos planos
,
e
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume no primeiro octante, que é a parte do espaço onde as coordenadas
,
e
são todas positivas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está delimitado pelos planos
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem as restrições que delimitam o sólido. O plano
é o plano
,
é o plano
, e
é um plano que inclina em relação ao eixo
. Já o plano
é um plano inclinado que vai cortar o primeiro octante.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
. No primeiro octante,
varia de 0 até onde o plano
intersecta com os outros planos.
Passo 4
Vamos resolver o plano
para
:
Como
no primeiro octante, temos:
Passo 5
Além disso, temos que
. Então, combinando com a desigualdade anterior:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites para
. Para que
seja positivo:
Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 7
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 8
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Passo 11
Expandindo
:
Passo 12
Agora, a integral em relação a
fica:
Integrando termo a termo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.