Calcule o volume do sólido do primeiro octante, delimitados pelos planos x = 0, z = 0, y = 3 x e 4x + 2y + z = 10.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume no primeiro octante, que é a parte do espaço onde as coordenadas , e são todas positivas. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está delimitado pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem as restrições que delimitam o sólido. O plano é o plano , é o plano , e é um plano que inclina em relação ao eixo . Já o plano é um plano inclinado que vai cortar o primeiro octante.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para , e . No primeiro octante, varia de 0 até onde o plano intersecta com os outros planos.

Passo 4

Vamos resolver o plano para :
Como no primeiro octante, temos:

Passo 5

Além disso, temos que . Então, combinando com a desigualdade anterior:

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites para . Para que seja positivo:
Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 7

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 8

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Passo 11

Expandindo :

Passo 12

Agora, a integral em relação a fica:
Integrando termo a termo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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