Calcule a integral de linha integralC x^2 d x+y^2 d y, em que C consiste:
(b) no segmento de reta que une os pontos (0,2) e (4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é o segmento de reta que liga os pontos e . Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas para transformar essa integral em uma forma que a gente consiga resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de x(t) = 0 + (4 - 0)t = 4t até y(t) = 2 + (3 - 2)t = 2 + t . Para isso, a gente define uma variável que varia de 0 a 1, onde:
Aqui, corresponde ao ponto e ao ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = 4 Rightarrow dx = 4 dt e dydt = 1 Rightarrow dy = dt em relação a , que são e :

Passo 4

Vamos substituir integralC x^2 dx + y^2 dy = integral0^1 (4t)^2 cdot 4 dt + (2 + t)^2 cdot dt , = integral0^1 16t^2 cdot 4 dt + (4 + 4t + t^2) dt , = integral0^1 64t^2 dt + integral0^1 (4 + 4t + t^2) dt e na integral original:
Simplificando isso:

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
Primeira parte:
integral0^1 64t^2 dt = 64 cdot [ t^33 ]0^1 = 64 cdot ( 13 - 0 ) = 643
Segunda parte:
integral0^1 4 dt = 4t |0^1 = 4(1) - 4(0) = 4
integral0^1 4t dt = 4 cdot [ t^22 ]0^1 = 4 cdot ( 12 - 0 ) = 2
integral0^1 t^2 dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
Somando todas as partes:
4 + 2 + 13 = 6 + 13 = 193

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
643 + 193 = 833
Então, a integral de linha vale .

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