Uma caixa de papelåo sem tampa deve ter um volume de . Determine as dimensőes que minimizem a quantidade de papelão utilizado.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisa construir uma caixa de papelão sem tampa que tenha um volume de . A missão é encontrar as dimensões dessa caixa que usem a menor quantidade possível de papelão. Pra resolver isso, vamos mexer com geometria e otimização, ou seja, calcular o volume e a área da superfície e encontrar os valores que minimizam o papel usado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • de largura,
  • de comprimento,
  • de altura.
Como a caixa não tem tampa, a área do papelão será a soma da área da base e das quatro laterais.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E queremos que , então:

Passo 4

Agora, vamos expressar a área total do papelão:
áá

Passo 5

Temos três variáveis, mas queremos minimizar . Para simplificar, podemos tentar reduzir o número de variáveis usando a equação do volume. Vamos resolver para uma das variáveis, digamos :

Passo 6

Substituindo na equação da área:
Simplificando:

Passo 7

Para minimizar , vamos derivar em relação a e e igualar a zero (usando cálculo diferencial). Isso nos dará as condições de mínimo.
Derivando em relação a :
Então:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 8

Agora, temos duas equações:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Simplificando:

Passo 9

Com , usamos a equação :
Agora, encontramos usando :

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de papelão são:
  • Comprimento ( ):
  • Largura ( ):
  • Altura ( ):

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