Uma caixa de papelåo sem tampa deve ter um volume de
. Determine as dimensőes que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisa construir uma caixa de papelão sem tampa que tenha um volume de
. A missão é encontrar as dimensões dessa caixa que usem a menor quantidade possível de papelão. Pra resolver isso, vamos mexer com geometria e otimização, ou seja, calcular o volume e a área da superfície e encontrar os valores que minimizam o papel usado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
de largura, -
de comprimento, -
de altura.
Como a caixa não tem tampa, a área do papelão será a soma da área da base e das quatro laterais.
Passo 3
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
E queremos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos expressar a área total
do papelão:
Passo 5
Temos três variáveis, mas queremos minimizar
. Para simplificar, podemos tentar reduzir o número de variáveis usando a equação do volume. Vamos resolver para uma das variáveis, digamos
:
Passo 6
Substituindo
na equação da área:
Simplificando:
Passo 7
Para minimizar
, vamos derivar em relação a
e
e igualar a zero (usando cálculo diferencial). Isso nos dará as condições de mínimo.
Derivando em relação a
:
Então:
Derivando em relação a
:
Então:
Passo 8
Agora, temos duas equações:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Simplificando:
Passo 9
Com
, usamos a equação
:
Agora, encontramos
usando
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de papelão são:
- Comprimento (
): - Largura (
): - Altura (
):
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: