Calcule a integral indefinida. integral sen t sec ^2(cos t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas e substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que temos u = cos t dentro da função . Então, vamos fazer a substituição:
Isso significa que precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando du = -sin t , dt , temos:
sin t , dt = -du
Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos integral sin t cdot sec^2(cos t) , dt = integral sin tcos^2(cos t) , dt = integral 1cos^2 u cdot sin t , dt = integral 1cos^2 u cdot (-du) = -integral sec^2 u , du e na integral original:
Aqui, usamos a identidade .

Passo 5

Agora, vamos integrar - integral sec^2 u , du = -tan u + C . Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original -tan u + C = -tan(cos t) + C substituindo :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin t cdot sec^2(cos t) , dt = -tan(cos t) + C

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