A superficie de um lago é representada por uma regiảo D no plano x y, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a (x, y) é dada por
f(x, y) = 300 - 2*x^2 - 3*y^2
Se um nadador está no ponto 4,9, em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a profundidade de um lago representada por uma função . A pergunta é: se um nadador está no ponto (4,9), em qual direção ele deve nadar para que a profundidade sob ele diminua mais rapidamente? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente da função é:
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico onde o nadador está, que é (4,9):

Passo 5

O gradiente aponta na direção de maior aumento da função. Porém, a pergunta quer saber em qual direção a profundidade diminui mais rapidamente, ou seja, a direção de maior decréscimo. Para isso, usamos a direção oposta ao gradiente, que é o vetor negativo do gradiente.
Portanto, a direção desejada é:

Passo 6

Para expressar essa direção como um vetor unitário (ou seja, com comprimento igual a 1), podemos normalizar o vetor:
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor (16, 54):
Então, o vetor unitário na direção de decréscimo é:

Resposta

O nadador deve nadar na direção aproximadamente para que a profundidade sob ele diminua mais rapidamente.

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