A superficie de um lago é representada por uma regiảo
no plano
, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a
é dada por
Se um nadador está no ponto
, em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a profundidade de um lago representada por uma função
. A pergunta é: se um nadador está no ponto (4,9), em qual direção ele deve nadar para que a profundidade sob ele diminua mais rapidamente? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Então, o gradiente da função
é:
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico onde o nadador está, que é (4,9):
Passo 5
O gradiente aponta na direção de maior aumento da função. Porém, a pergunta quer saber em qual direção a profundidade diminui mais rapidamente, ou seja, a direção de maior decréscimo. Para isso, usamos a direção oposta ao gradiente, que é o vetor negativo do gradiente.
Portanto, a direção desejada é:
Passo 6
Para expressar essa direção como um vetor unitário (ou seja, com comprimento igual a 1), podemos normalizar o vetor:
Primeiro, calculamos o comprimento do vetor (16, 54):
Então, o vetor unitário na direção de decréscimo é:
Resposta
O nadador deve nadar na direção aproximadamente
para que a profundidade sob ele diminua mais rapidamente.
Exercícios relacionados
Uma caixa de papelåo sem tampa deve ter um volume de
. Determine as dimensőes que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
Calcule a integral indefinida.
No item abaixo:
- determine o gradiente de
:
Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível: