Encontre a integral indefinida geral. integral sec t(sec t+tg t) d t

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nessa integral que envolve as funções secante ( sec t) e tangente ( tg t). Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente da integração. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas técnicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a resolução:
integral sec t (sec t + tg t) , dt = integral sec^2 t , dt + integral sec t cdot tg t , dt

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
A primeira integral é integral sec^2 t , dt. Sabemos que a derivada da tangente é a secante ao quadrado:
ddt (tan t) = sec^2 t
Portanto,
integral sec^2 t , dt = tan t

Passo 4

A segunda integral é integral sec t cdot tg t , dt. Aqui, reconhecemos que a derivada da secante é a secante vezes a tangente:
ddt (sec t) = sec t cdot tg t
Assim,
integral sec t cdot tg t , dt = sec t

Resposta

Juntando os resultados das duas integrais, temos:
integral sec t (sec t + tg t) , dt = tan t + sec t + C
Onde C é a constante de integração.

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