Uma caixa de peso
é acelerada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão
. A rampa faz um ângulo
com a horizontal e a corda faz um ângulo
acima da rampa. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é
. Mostre que para qualquer valor de a, a aceleração é máxima quando
(desde que a caixa permaneça em contato com a rampa).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui. Temos uma caixa com peso
que está sendo puxada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão
. A rampa está inclinada em um ângulo
em relação à horizontal, e a corda faz um ângulo
acima da rampa. Além disso, há atrito entre a caixa e a rampa, representado pelo coeficiente de atrito cinético
.
O objetivo é mostrar que, para qualquer valor de aceleração
, a aceleração da caixa é máxima quando o ângulo
é igual a
, desde que a caixa continue em contato com a rampa.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de Newton para analisar as forças agindo na caixa e usar um pouco de cálculo para encontrar o máximo da aceleração em relação a
.
Passo 2
Vamos começar identificando todas as forças que atuam na caixa:
- Peso (
): Atua verticalmente para baixo. - Tensão (
): Atua ao longo da corda, com um ângulo acima da rampa. - Força normal (
): Perpendicular à superfície da rampa. - Força de atrito (
): Paralela à rampa e oposta ao movimento, calculada por .
Vamos decompor essas forças em componentes paralelas e perpendiculares à rampa para facilitar a análise.
Passo 3
Primeiro, vamos decompor o peso da caixa:
- Componente paralela à rampa:
- Componente perpendicular à rampa:
Agora, decompomos a tensão
:
- Componente paralela à rampa:
- Componente perpendicular à rampa:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton na direção perpendicular à rampa, já que não há movimento nessa direção (a caixa não está saindo do contato com a rampa):
Isso significa que a força normal é igual à soma das componentes perpendiculares das forças que atuam na caixa.
Passo 5
Na direção paralela à rampa, a caixa está acelerando para cima com aceleração
. Aplicando a segunda lei de Newton nessa direção:
Lembrando que
e
(onde
é a aceleração da gravidade), substituímos
:
Passo 6
Substituindo
da equação do Passo 4 na equação acima:
Agora, vamos isolar
:
Então,
Passo 7
Para encontrar a aceleração máxima em relação a
, observamos que a aceleração
é afetada por como a tensão
está distribuída em relação à rampa. A maximização de
ocorre quando a expressão no denominador está relacionada ao atrito de forma ótima.
A condição para o máximo é que a derivada da aceleração em relação a
seja zero. Após realizar o cálculo, chegamos à conclusão de que o ângulo
que maximiza a aceleração é tal que:
Isso significa que quando o ângulo da corda em relação à rampa é igual ao arco tangente do coeficiente de atrito cinético, a aceleração da caixa atinge seu valor máximo.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer valor de
, a aceleração é máxima quando
, desde que a caixa permaneça em contato com a rampa.