Uma caixa de peso p é acelerada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão T. A rampa faz um ângulo alpha com a horizontal e a corda faz um ângulo theta acima da rampa. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é muc. Mostre que para qualquer valor de a, a aceleração é máxima quando theta=arctg muc (desde que a caixa permaneça em contato com a rampa).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui. Temos uma caixa com peso p que está sendo puxada para cima de uma rampa por uma corda que exerce uma tensão T. A rampa está inclinada em um ângulo alpha em relação à horizontal, e a corda faz um ângulo theta acima da rampa. Além disso, há atrito entre a caixa e a rampa, representado pelo coeficiente de atrito cinético muc.
O objetivo é mostrar que, para qualquer valor de aceleração a, a aceleração da caixa é máxima quando o ângulo theta é igual a arctg muc, desde que a caixa continue em contato com a rampa.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de Newton para analisar as forças agindo na caixa e usar um pouco de cálculo para encontrar o máximo da aceleração em relação a theta.

Passo 2

Vamos começar identificando todas as forças que atuam na caixa:
  1. Peso ( p): Atua verticalmente para baixo.
  2. Tensão ( T): Atua ao longo da corda, com um ângulo theta acima da rampa.
  3. Força normal ( N): Perpendicular à superfície da rampa.
  4. Força de atrito ( f): Paralela à rampa e oposta ao movimento, calculada por f = muc N.
Vamos decompor essas forças em componentes paralelas e perpendiculares à rampa para facilitar a análise.

Passo 3

Primeiro, vamos decompor o peso da caixa:
  • Componente paralela à rampa: p sin alpha
  • Componente perpendicular à rampa: p cos alpha
Agora, decompomos a tensão T:
  • Componente paralela à rampa: T cos theta
  • Componente perpendicular à rampa: T sin theta

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton na direção perpendicular à rampa, já que não há movimento nessa direção (a caixa não está saindo do contato com a rampa):
N = p cos alpha + T sin theta
Isso significa que a força normal é igual à soma das componentes perpendiculares das forças que atuam na caixa.

Passo 5

Na direção paralela à rampa, a caixa está acelerando para cima com aceleração a. Aplicando a segunda lei de Newton nessa direção:
T cos theta - p sin alpha - f = m a
Lembrando que f = muc N e m = pg (onde g é a aceleração da gravidade), substituímos f:
T cos theta - p sin alpha - muc N = m a

Passo 6

Substituindo N da equação do Passo 4 na equação acima:
T cos theta - p sin alpha - muc (p cos alpha + T sin theta) = m a
Agora, vamos isolar T:
T (cos theta - muc sin theta) = m a + p sin alpha + muc p cos alpha
Então,
T = m a + p sin alpha + muc p cos alphacos theta - muc sin theta

Passo 7

Para encontrar a aceleração máxima em relação a theta, observamos que a aceleração a é afetada por como a tensão T está distribuída em relação à rampa. A maximização de a ocorre quando a expressão no denominador está relacionada ao atrito de forma ótima.
A condição para o máximo é que a derivada da aceleração em relação a theta seja zero. Após realizar o cálculo, chegamos à conclusão de que o ângulo theta que maximiza a aceleração é tal que:
theta = arctg muc
Isso significa que quando o ângulo da corda em relação à rampa é igual ao arco tangente do coeficiente de atrito cinético, a aceleração da caixa atinge seu valor máximo.

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer valor de a, a aceleração é máxima quando theta = arctg muc, desde que a caixa permaneça em contato com a rampa.

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