Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=x^2+1, (2,5)

Passo 1

Estamos vendo um problema de geometria analítica, onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = x^2 + 1 no ponto (2,5). Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função (que nos dá a inclinação da reta tangente) e usar a fórmula da equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y = x^2 + 1. A derivada de x^2 é 2x e a derivada de 1 é 0. Então,
dydx = 2x

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto (2,5). Para isso, substituímos x = 2 na derivada:
dydx|x=2 = 2 times 2 = 4
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 4

Sabemos que a equação da reta tangente pode ser escrita na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m (x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
y - 5 = 4 (x - 2)

Resposta

A equação da reta tangente é y - 5 = 4 (x - 2), ou simplificando, y = 4x - 3.

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