Uma caixa de peso
é puxada com velocidade constante ao longo de um piso plano por uma força
que faz um ângulo
acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e piso é
. Para
e
, ache
par
variando de
a
incrementos de
. Faça um gráfic de
versus
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a força $ F $ necessária para puxar uma caixa com peso $ p = 400 , N $ sobre um piso plano, onde o coeficiente de atrito cinético é $ \mu_{\mathrm{c}} = 0,25 $. A força $ F $ está fazendo um ângulo $ \theta $ acima da horizontal, e precisamos achar $ F $ para $ \theta $ variando de $ 0^\circ $ a $ 90^\circ $ em incrementos de $ 10^\circ $. Vamos usar conceitos de estática e dinâmica, especificamente sobre forças e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças. A caixa está sendo puxada com velocidade constante, o que significa que a aceleração é zero e as forças horizontais e verticais se equilibram.
As forças envolvidas são:
- A força peso $ p = 400 , N $ para baixo.
- A força aplicada $ \overrightarrow{F} $ que tem componentes horizontal $ F \cos \theta $ e vertical $ F \sin \theta $.
- A força de atrito cinético $ f_{\mathrm{c}} = \mu_{\mathrm{c}} \cdot N $, onde $ N $ é a força normal.
- A força normal $ N $, que é a força de reação do piso sobre a caixa.
Passo 3
Como a caixa está em movimento com velocidade constante, a força horizontal $ F \cos \theta $ deve equilibrar a força de atrito $ f_{\mathrm{c}} $. Então, temos:
Passo 4
Vamos agora encontrar a força normal $ N $. As forças verticais também se equilibram, então:
Isso porque a força vertical da aplicação $ F \sin \theta $ está ajudando a sustentar a caixa, reduzindo a força normal.
Então,
Passo 5
Substituindo $ N $ na equação da força de atrito:
Agora, vamos resolver essa equação para $ F $.
Passo 6
Distribuindo $ \mu_{\mathrm{c}} $:
Levamos todos os termos com $ F $ para um lado:
Fatoramos $ F $:
Finalmente, isolamos $ F $:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ F $ para cada ângulo $ \theta $ de $ 0^\circ $ a $ 90^\circ $ em passos de $ 10^\circ $. Usaremos a fórmula que encontramos:
Vamos calcular para cada ângulo:
$ \theta $ | $ \cos \theta $ | $ \sin \theta $ | $ F $ (N) |
---|---|---|---|
0° | 1 | 0 | $ \frac{100}{1 + 0} = 100 $ |
10° | 0,9848 | 0,1736 | $ \frac{100}{0,9848 + 0,0434} \approx 100 / 1,0282 \approx 97,3 $ |
20° | 0,9397 | 0,3420 | $ \frac{100}{0,9397 + 0,0855} \approx 100 / 1,0252 \approx 97,6 $ |
30° | 0,8660 | 0,5000 | $ \frac{100}{0,8660 + 0,1250} \approx 100 / 0,9910 \approx 100,9 $ |
40° | 0,7660 | 0,6428 | $ \frac{100}{0,7660 + 0,1607} \approx 100 / 0,9267 \approx 107,9 $ |
50° | 0,6428 | 0,7660 | $ \frac{100}{0,6428 + 0,1915} \approx 100 / 0,8343 \approx 119,8 $ |
60° | 0,5000 | 0,8660 | $ \frac{100}{0,5000 + 0,2165} \approx 100 / 0,7165 \approx 139,5 $ |
70° | 0,3420 | 0,9397 | $ \frac{100}{0,3420 + 0,2349} \approx 100 / 0,5769 \approx 173,5 $ |
80° | 0,1736 | 0,9848 | $ \frac{100}{0,1736 + 0,2462} \approx 100 / 0,4198 \approx 238,5 $ |
90° | 0 | 1 | $ \frac{100}{0 + 0,25} = 400 $ |
Resposta
A força $ F $ necessária para puxar a caixa em cada ângulo $ \theta $ é:
$ \theta $ | $ F $ (N) |
---|---|
0° | 100,0 |
10° | 97,3 |
20° | 97,6 |
30° | 100,9 |
40° | 107,9 |
50° | 119,8 |
60° | 139,5 |
70° | 173,5 |
80° | 238,5 |
90° | 400,0 |
Para visualizar, você pode plotar esses valores em um gráfico de $ F $ versus $ \theta $, onde o eixo horizontal representa os ângulos de $ 0^\circ $ a $ 90^\circ $ e o eixo vertical mostra a força $ F $ correspondente em Newtons.