Um cubo de gelo derrete de forma que sua aresta diminui a uma taxa de 0,1 cm / min. Encontre a taxa de variação do volume do cubo de gelo quando a aresta for igual a 2 cm.

Passo 1

Então, o que temos aqui é um cubo de gelo que está derretendo. A aresta desse cubo está ficando menor a uma taxa de 0,1 cm/min. Nosso objetivo é descobrir a que velocidade o volume desse cubo está diminuindo quando a aresta mede 2 cm. Vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
V = a^3
onde V é o volume e a é a aresta do cubo. Como a aresta está mudando com o tempo, o volume também está mudando com o tempo.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, dVdt. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
dVdt = ddt(a^3)
Usando a regra do poder da derivada, temos:
dVdt = 3a^2 dadt

Passo 4

Sabemos que dadt = -0,1 cm/min (a aresta está diminuindo, por isso é negativa) e queremos encontrar dVdt quando a = 2 cm. Substituindo esses valores na equação:
dVdt = 3 times (2)^2 times (-0,1)

Passo 5

Calculando os valores:
dVdt = 3 times 4 times (-0,1) = 12 times (-0,1) = -1,2 cm^3/min

Resposta

A taxa de variação do volume do cubo de gelo quando a aresta é igual a 2 cm é de -1,2 cm^3/min.

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