Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \ln x $ no ponto dado
. Vamos utilizar conceitos de derivadas para achar essa reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é aquela que “encosta” na curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele instante.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente, vamos calcular a derivada de $ y = \ln x $. A derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.
Passo 5
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
e tem inclinação 1. Vamos usar a fórmula da equação da reta:
Onde:
- $ m $ é a inclinação,
- $ (x_1, y_1) $ é o ponto pelo qual a reta passa.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva $ y = \ln x $ no ponto
é: