Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=ln x, (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \ln x $ no ponto dado y = ln x . Vamos utilizar conceitos de derivadas para achar essa reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é aquela que “encosta” na curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele instante.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, vamos calcular a derivada de $ y = \ln x $. A derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é:
y = ln x

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na derivada:
x = 1
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto (1, 0) e tem inclinação 1. Vamos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde:
  • $ m $ é a inclinação,
  • $ (x_1, y_1) $ é o ponto pelo qual a reta passa.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
y - 0 = 1(x - 1)
Simplificando:
y = x - 1

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ y = \ln x $ no ponto y = ln x é:
(1, 0)

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