( ) Uma caixa produzida a partir da retirada de quadrados de lado igual a 10 cm terá área da sua superfície maior do que a de uma caixa produzida a partir da retirada de quadrados de lado igual a 20 cm .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas caixas feitas retirando quadrados de lados diferentes (10 cm e 20 cm) de uma folha antes de dobrar para formar a caixa. O objetivo aqui é comparar as áreas das superfícies dessas duas caixas para ver qual delas tem uma área maior. Vamos precisar usar conceitos de geometria sobre áreas de superfícies de caixas e entender como o tamanho dos quadrados cortados afeta a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da superfície de uma caixa. Uma caixa retangular tem seis faces: topo, fundo e as quatro laterais. A área total da superfície é a soma das áreas de todas essas faces. Mas, no nosso caso, como estamos formando a caixa a partir de uma folha cortando quadrados de cantos, geralmente consideramos caixas sem tampa, ou seja, sem o topo. Então, a área da superfície será a área do fundo mais a área das quatro laterais.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • Seja o lado do quadrado cortado.
  • Seja o comprimento da folha original.
  • Seja a largura da folha original.
Depois de cortar os quadrados e dobrar, as dimensões da caixa serão:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

Passo 4

A área da superfície da caixa será composta pela área do fundo mais a área das quatro laterais:
Á
Simplificando,
Á
Á

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores de cm e cm para comparar as áreas das duas caixas. Presumindo que a folha original tenha dimensões suficientes para ambos os cortes (ou seja, cm e cm para o corte de 20 cm).
Primeiro, para cm:
Á
Depois, para cm:
Á

Passo 6

Para comparar essas duas áreas, podemos observar que, ao aumentar o valor de , a área do fundo diminui mais rapidamente do que a área das laterais aumenta, especialmente porque o aumento é proporcional a . Portanto, geralmente, uma caixa com quadrados maiores cortados terá uma área total de superfície menor do que uma com quadrados menores cortados, desde que as dimensões originais da folha permitam ambos os cortes.

Resposta

A caixa formada retirando quadrados de 10 cm terá uma área de superfície maior do que a caixa formada retirando quadrados de 20 cm.

Exercícios relacionados

( ) O domínio da função , que modela a área da superfície da caixa, é o intervalo real .
( ) A expressão que modela a área da superfície da caixa é .
( ) A caixa com a maior área de superfície será aquela que for produzida a partir da retirada de quadrados de lado .
( ) A caixa que tiver a maior área de superfície possível também terá o maior volume possível.