( ) A caixa que tiver a maior área de superfície possível também terá o maior volume possível.
Passo 1
Então, a gente tem essa afirmação: “A caixa que tiver a maior área de superfície possível também terá o maior volume possível.” A gente vai analisar isso usando conceitos de geometria, especificamente sobre área de superfície e volume de caixas. Precisamos entender como essas duas medidas se relacionam para ver se essa afirmação é verdadeira ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é área de superfície e volume de uma caixa. A área de superfície é a soma de todas as áreas das faces da caixa. Se a caixa é retangular, por exemplo, com comprimento
, largura
e altura
, a área de superfície
é dada por:
Já o volume
da caixa é o espaço que ela ocupa, calculado por:
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre como maximizar a área de superfície. Se a gente aumenta todas as dimensões
,
e
, tanto a área de superfície quanto o volume aumentam. Mas será que o aumento na área de superfície sempre garante que o volume também seja o maior possível? Vamos analisar.
Passo 4
Considera que pra uma caixa com área de superfície fixa, a forma que maximiza o volume é quando todas as suas dimensões são iguais, ou seja, a caixa é um cubo. Isso significa que para maximizar o volume com uma dada área de superfície, a melhor forma é o cubo.
Passo 5
Por outro lado, se a gente apenas maximiza a área de superfície sem restrição no volume, não necessariamente o volume será o maior possível. Uma caixa muito esticada pode ter uma área de superfície enorme, mas um volume pequeno.
Passo 6
Então, a maximização da área de superfície não garante que o volume também seja maximizado. São otimizações diferentes e uma não implica necessariamente na outra.
Resposta
A afirmação é falsa. A caixa com a maior área de superfície não necessariamente terá o maior volume.
Exercícios relacionados
( ) A caixa com a maior área de superfície será aquela que for produzida a partir da retirada de quadrados de lado
.
( ) Uma caixa produzida a partir da retirada de quadrados de lado igual a 10 cm terá área da sua superfície maior do que a de uma caixa produzida a partir da retirada de quadrados de lado igual a 20 cm .
( ) Sendo
a função que dá o volume da caixa em termos do lado
dos quadrados retirados na extremidades da folha, então
.
Determine: O custo fixo de produção desse mineral pela mineradora.