Uma caixa retangular fechada, para conter , deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de por , o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por . Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.

Passo 1

Então, a gente tem uma caixa retangular fechada que precisa armazenar 16 cm³. A missão é descobrir as dimensões dessa caixa de jeito que o custo dos materiais usados seja o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e cálculo diferencial para resolver isso. Além disso, vamos considerar os custos diferentes de cada parte da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de , a largura de e a altura de . Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Portanto, temos:
Podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total dos materiais da caixa. A caixa tem:
  • 2 bases (tampa e fundo) com área cada, custando R$ 18,00 por cm².
  • 2 faces da frente e de trás com área cada, custando R$ 16,00 por cm².
  • 2 laterais com área cada, custando R$ 12,00 por cm².
Portanto, o custo total é:
Substituindo por :
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos minimizar o custo . Para isso, vamos usar derivadas parciais em relação a e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Resolvendo para :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de encontrada no Passo 4 na equação de :
Isso nos dá:
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 6

Com cm e cm, podemos encontrar usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo são:

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