Uma caixa retangular fechada, para conter
, deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de
por
, o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por
e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por
. Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.
Passo 1
Então, a gente tem uma caixa retangular fechada que precisa armazenar 16 cm³. A missão é descobrir as dimensões dessa caixa de jeito que o custo dos materiais usados seja o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e cálculo diferencial para resolver isso. Além disso, vamos considerar os custos diferentes de cada parte da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de
, a largura de
e a altura de
. Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Portanto, temos:
Podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total dos materiais da caixa. A caixa tem:
- 2 bases (tampa e fundo) com área
cada, custando R$ 18,00 por cm². - 2 faces da frente e de trás com área
cada, custando R$ 16,00 por cm². - 2 laterais com área
cada, custando R$ 12,00 por cm².
Portanto, o custo total
é:
Substituindo
por
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos minimizar o custo
. Para isso, vamos usar derivadas parciais em relação a
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
encontrada no Passo 4 na equação de
:
Isso nos dá:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Com
cm e
cm, podemos encontrar
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo são:
Exercícios relacionados
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Se
e
. Expressar
como função de
.
A temperatura
em qualquer ponto
do plano é dada por
. Qual a temperatura máxima e mínima de um disco fechado, de raio
, centrado na origem.