A temperatura em qualquer ponto do plano é dada por . Qual a temperatura máxima e mínima de um disco fechado, de raio , centrado na origem.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função que representa a temperatura em qualquer ponto do plano: . O desafio é descobrir qual é a temperatura máxima e mínima dentro de um disco fechado com raio 1, centrado na origem. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente conceitos de derivadas para encontrar extremos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro do disco, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. Para isso, a gente calcula as derivadas parciais de em relação a e e iguala a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando as derivadas a zero:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do disco de raio 1. A equação do disco é . Substituindo e :
Como é menor ou igual a 1, o ponto está dentro do disco.

Passo 4

Vamos calcular a temperatura nesse ponto crítico:

Passo 5

Agora, precisamos verificar as temperaturas na fronteira do disco, ou seja, no círculo de raio 1. Podemos parametrizar os pontos da fronteira usando e , onde varia de 0 a .
Substituindo na função temperatura:
Usando a identidade trigonométrica , simplificamos:
Para facilitar, podemos derivar em relação a e encontrar os pontos onde a derivada é zero, que são candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 6

Derivando :
Igualando a zero e resolvendo para , encontramos os valores de que nos darão os extremos na fronteira.
Após resolver essa equação (o que envolve um pouco de cálculo trigonométrico), encontramos que os pontos críticos na fronteira ocorrem em e .

Passo 7

Calculando a temperatura nesses pontos:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Agora, juntando tudo:
  • Dentro do disco, a temperatura mínima é em .
  • Na fronteira do disco, a temperatura máxima é em .

Resposta

A temperatura mínima no disco é e a temperatura máxima é .

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Calcule as derivadas: (a) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Calcule as derivadas: (e) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função .