Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente à curva dada no ponto específico
. A curva é representada por
. Ou seja, vamos usar geometria analítica e cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de
a curva passa pelo ponto
. Olhando para a terceira coordenada da curva, que é
, vemos que
. Agora, vamos verificar se esse valor de
realmente dá as outras coordenadas corretas:
- Primeira coordenada:
✅ - Segunda coordenada:
✅
Tudo confere, então
é o parâmetro correspondente ao ponto dado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
, que vai nos dar o vetor tangente à curva. Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Calculando cada derivada:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no valor
para encontrar o vetor tangente no ponto dado:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 5
Por fim, a equação vetorial da reta tangente pode ser escrita usando o ponto dado e o vetor tangente encontrado. A forma geral é:
Onde
é o ponto
e
é o vetor tangente
. Então,
Resposta
A equação vetorial da reta tangente é:
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Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Determine o comprimento das seguintes curvas:
Uma caixa retangular fechada, para conter
, deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de
por
, o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por
e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por
. Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.
Se
e
. Expressar
como função de
.