Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente à curva dada no ponto específico
. A curva é representada por
. Ou seja, vamos usar geometria analítica e cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de
a curva passa pelo ponto
. Olhando para a terceira coordenada da curva, que é
, vemos que
. Agora, vamos verificar se esse valor de
realmente dá as outras coordenadas corretas:
- Primeira coordenada:
✅ - Segunda coordenada:
✅
Tudo confere, então
é o parâmetro correspondente ao ponto dado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
, que vai nos dar o vetor tangente à curva. Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Calculando cada derivada:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no valor
para encontrar o vetor tangente no ponto dado:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 5
Por fim, a equação vetorial da reta tangente pode ser escrita usando o ponto dado e o vetor tangente encontrado. A forma geral é:
Onde
é o ponto
e
é o vetor tangente
. Então,
Resposta
A equação vetorial da reta tangente é: