Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente à curva dada no ponto específico . A curva é representada por . Ou seja, vamos usar geometria analítica e cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de a curva passa pelo ponto . Olhando para a terceira coordenada da curva, que é , vemos que . Agora, vamos verificar se esse valor de realmente dá as outras coordenadas corretas:
  • Primeira coordenada:
  • Segunda coordenada:
Tudo confere, então é o parâmetro correspondente ao ponto dado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que vai nos dar o vetor tangente à curva. Vamos derivar cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no valor para encontrar o vetor tangente no ponto dado:
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Por fim, a equação vetorial da reta tangente pode ser escrita usando o ponto dado e o vetor tangente encontrado. A forma geral é:
Onde é o ponto e é o vetor tangente . Então,

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
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Uma caixa retangular fechada, para conter , deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de por , o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por . Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.
Se e . Expressar como função de .