Se u = z * e^(x^2 + y^2), x = sen(θ), y = cos(θ) e z = tg(θ). Expressar d u / d θ como função de theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função dada é , com , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever com as expressões de , e :
Agora, vamos derivar em relação a .

Passo 3

Usando a regra do produto, a derivada de será:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de :
Agora, a derivada de . Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Calculando a derivada dentro do expoente:
Então, a derivada da parte exponencial é zero.

Passo 6

Voltando à expressão da derivada de :

Passo 7

Sabemos que , então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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