Se
e
. Expressar
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
, com ,
e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
com as expressões de
,
e
:
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Usando a regra do produto, a derivada de
será:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de :
Agora, a derivada de . Usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Calculando a derivada dentro do expoente:
Então, a derivada da parte exponencial é zero.
Passo 6
Voltando à expressão da derivada de
:
Passo 7
Sabemos que , então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Uma caixa retangular fechada, para conter
, deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de
por
, o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por
e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por
. Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
A temperatura
em qualquer ponto
do plano é dada por
. Qual a temperatura máxima e mínima de um disco fechado, de raio
, centrado na origem.
Calcule as derivadas: (a) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
.