Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de uma função vetorial. Ou seja, temos uma função que retorna um vetor, e queremos descobrir como esse vetor muda em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente dela separadamente. A função que temos é:
Então, vamos derivar cada uma dessas partes.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, a segunda componente é . A derivada de é . Então:

Passo 5

Por último, a terceira componente é . Novamente, usamos a regra do produto. Além disso, precisamos lembrar que a derivada de é (pela regra da cadeia). Então:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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Determine o comprimento das seguintes curvas:
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.
Uma caixa retangular fechada, para conter , deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de por , o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por . Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.