Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de uma função vetorial. Ou seja, temos uma função que retorna um vetor, e queremos descobrir como esse vetor muda em relação a
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente dela separadamente. A função que temos é:
Então, vamos derivar cada uma dessas partes.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, a segunda componente é
. A derivada de
é
. Então:
Passo 5
Por último, a terceira componente é
. Novamente, usamos a regra do produto. Além disso, precisamos lembrar que a derivada de
é
(pela regra da cadeia). Então:
Resposta
A derivada da função vetorial é:
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Determine o comprimento das seguintes curvas:
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais.
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
Uma caixa retangular fechada, para conter
, deve ser feita com três tipos de materiais. O custo do material da tampa e da base é de
por
, o custo do material das partes da frente e de trás é de R$ 16,00 por
e o custo do material para os outros dois lados é de R$ 12,00 por
. Determine as dimensões da caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.