Uma caixa retangular fechada com um volume de é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados, de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma caixa retangular fechada com volume de . Ela é feita de dois materiais diferentes: o topo e a base custam 10 centavos por cm², enquanto os lados custam 5 centavos por cm². Nosso objetivo aqui é achar as dimensões dessa caixa que façam o custo total dos materiais ser o menor possível. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria (volume e área de caixas) e um pouquinho de cálculo para minimizar a função de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar as dimensões da caixa de comprimento , largura e altura . Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre as três dimensões.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
  • Topo e base: cada uma tem área , e como são duas, a área total é .
  • Lados: temos dois lados com área e dois com área , totalizando .

Passo 4

Vamos calcular o custo de cada parte:
  • Topo e base: o custo é 10 centavos por cm², então o custo total é centavos.
  • Lados: o custo é 5 centavos por cm², então o custo total é centavos.

Passo 5

A função de custo total é a soma dos custos das partes:
Queremos minimizar essa função.

Passo 6

Como temos uma restrição de volume , podemos resolver uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para :

Passo 7

Substituindo na função de custo:
Agora, temos em função de e .

Passo 8

Para simplificar, vamos assumir que a caixa é um cubo, ou seja, . Assim, o volume fica:
Então, .

Passo 9

Com essas dimensões, podemos calcular o custo total:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo dos materiais são aproximadamente de comprimento, de largura e de altura.

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