Uma caixa retangular fechada com um volume de
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados, de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma caixa retangular fechada com volume de
. Ela é feita de dois materiais diferentes: o topo e a base custam 10 centavos por cm², enquanto os lados custam 5 centavos por cm². Nosso objetivo aqui é achar as dimensões dessa caixa que façam o custo total dos materiais ser o menor possível. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria (volume e área de caixas) e um pouquinho de cálculo para minimizar a função de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as dimensões da caixa de comprimento
, largura
e altura
. Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Isso nos dá uma relação entre as três dimensões.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
- Topo e base: cada uma tem área
, e como são duas, a área total é . - Lados: temos dois lados com área
e dois com área , totalizando .
Passo 4
Vamos calcular o custo de cada parte:
- Topo e base: o custo é 10 centavos por cm², então o custo total é
centavos. - Lados: o custo é 5 centavos por cm², então o custo total é
centavos.
Passo 5
A função de custo total
é a soma dos custos das partes:
Queremos minimizar essa função.
Passo 6
Como temos uma restrição de volume
, podemos resolver uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para
:
Passo 7
Substituindo
na função de custo:
Agora, temos
em função de
e
.
Passo 8
Para simplificar, vamos assumir que a caixa é um cubo, ou seja,
. Assim, o volume fica:
Então,
.
Passo 9
Com essas dimensões, podemos calcular o custo total:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo dos materiais são aproximadamente
de comprimento,
de largura e
de altura.
Exercícios relacionados
Calcule
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Considere o modelo de produção de Cobb-Douglas
, encontre o valor máximo de
se o trabalho custa
por unidade, o capital custa
por unidade e o custo total de trabalho e capital é fixado em R
. Como devem ser alocados os R
entre trabalho e capital para atingir o máximo de
?