Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
(b) w=sen(e^x+e^y+e^z)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0
Precisamos verificar se a função
w = sin(e^x + e^y + e^z)
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las para ver se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = cos(e^x + e^y + e^z) cdot partialpartial x(e^x + e^y + e^z) = cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^x em relação a . Usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de partial wpartial y = cos(e^x + e^y + e^z) cdot partialpartial y(e^x + e^y + e^z) = cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^y em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial wpartial z = cos(e^x + e^y + e^z) cdot partialpartial z(e^x + e^y + e^z) = cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^z em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as três derivadas parciais:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^x + cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^y + cos(e^x + e^y + e^z) cdot e^z
Podemos fatorar o termo comum cos(e^x + e^y + e^z) cdot (e^x + e^y + e^z) :

Passo 6

Observamos que a expressão acima é igual a:
cos(e^x + e^y + e^z) cdot (e^x + e^y + e^z)
Para que a equação diferencial seja satisfeita, essa expressão deve ser igual a zero:
cos(e^x + e^y + e^z) cdot (e^x + e^y + e^z) = 0

Passo 7

Para o produto ser zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Vamos analisar:
  1. : Isso ocorre para valores específicos de , e , mas não para todos.
  2. : Como exponenciais são sempre positivas, essa soma nunca será zero.
Portanto, a única possibilidade seria a primeira condição, mas ela não é válida para todos os , e .

Resposta

A função não satisfaz a equação diferencial para todos os valores de , e .

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