Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
Precisamos verificar se a função
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as três derivadas parciais:
Podemos fatorar o termo comum
:
Passo 6
Observamos que a expressão acima é igual a:
Para que a equação diferencial seja satisfeita, essa expressão deve ser igual a zero:
Passo 7
Para o produto ser zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Vamos analisar:
-
: Isso ocorre para valores específicos de , e , mas não para todos. -
: Como exponenciais são sempre positivas, essa soma nunca será zero.
Portanto, a única possibilidade seria a primeira condição, mas ela não é válida para todos os
,
e
.
Resposta
A função
não satisfaz a equação diferencial
para todos os valores de
,
e
.
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e
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, nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que
e
. (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura e
;
Determine as funções de temperatura
Calcule
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é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados, de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.