Calcule
integral-pi / 3^pi / 4(7+sen 5 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função ao quadrado que envolve uma constante e uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar expandir o quadrado, integrar termo a termo e aplicar as propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Sabemos que (7 + sen 5x)^2 = 7^2 + 2 times 7 times sen 5x + (sen 5x)^2 = 49 + 14 sen 5x + sen^2 5x , então aplicando isso:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar a resolução:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
integral 49 , dx = 49x
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, juntando todas as partes integradas:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 992x - 145 cos 5x - sen 10x20 ]-pi / 3^pi / 4 a ( 992 times pi4 - 145 cos (5 times pi4) - sen (10 times pi4)20 ) - ( 992 times (-pi3) - 145 cos (5 times (-pi3)) - sen (10 times (-pi3))20 ) :
Calculamos isso substituindo os limites:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Para 992 times pi4 = 99pi8 :
cos (5pi4) = -raiz22
sen (10pi4) = sen (5pi2) = 1
Então:
99pi8 - 145 times (-raiz22) - 120 = 99pi8 + 14raiz210 - 120
  1. Para 992 times (-pi3) = -99pi6 = -33pi2 :
cos (-5pi3) = cos (5pi3) = 12
sen (-10pi3) = -sen (10pi3) = -sen (4pi3) = raiz32
Então:
-33pi2 - 145 times 12 - raiz3220 = -33pi2 - 75 - raiz340

Passo 8

Subtraindo as duas partes:
( 99pi8 + 14raiz210 - 120 ) - ( -33pi2 - 75 - raiz340 )
Simplificando:
99pi8 + 33pi2 + 14raiz210 - 120 + 75 + raiz340
Convertendo todos os termos para denominadores comuns e somando:
99pi8 + 132pi8 = 231pi8
14raiz210 = 28raiz220
-120 + 28raiz220 + 2820 + raiz340 = 28raiz2 + 28 - 120 + raiz340
= 28raiz2 + 2720 + raiz340

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
231pi8 + 28raiz2 + 2720 + raiz340
Podemos expressar isso de forma simplificada ou deixar em termos decimais, dependendo da necessidade.

Resposta

A integral é igual a:
231pi8 + 28raiz2 + 2720 + raiz340

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