Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função ao quadrado que envolve uma constante e uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar expandir o quadrado, integrar termo a termo e aplicar as propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Sabemos que , então aplicando isso:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar a resolução:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, juntando todas as partes integradas:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculamos isso substituindo os limites:

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:

Passo 8

Subtraindo as duas partes:
Simplificando:
Convertendo todos os termos para denominadores comuns e somando:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
Podemos expressar isso de forma simplificada ou deixar em termos decimais, dependendo da necessidade.

Resposta

A integral é igual a:

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