Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função ao quadrado que envolve uma constante e uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar expandir o quadrado, integrar termo a termo e aplicar as propriedades das integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o termo . Sabemos que
, então aplicando isso:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar a resolução:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, juntando todas as partes integradas:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculamos isso substituindo os limites:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
Passo 8
Subtraindo as duas partes:
Simplificando:
Convertendo todos os termos para denominadores comuns e somando:
Passo 9
Finalmente, juntando tudo:
Podemos expressar isso de forma simplificada ou deixar em termos decimais, dependendo da necessidade.
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Uma caixa retangular fechada com um volume de
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados, de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio: