Uma caixa retangular sem tampa deve conter um volume máximo de 32000 cm 3 . Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão gasto. Justifique que o valor encontrado é de fato fornece um valor mínimo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa que precisa armazenar um volume de 32000 cm³. O objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que vão usar o mínimo de papelão possível. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de otimização em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja a largura da caixa.
  • Seja o comprimento da caixa.
  • Seja a altura da caixa.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E queremos que esse volume seja 32000 cm³:

Passo 4

A quantidade de papelão usado está relacionada à área superficial da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área superficial é:
Queremos minimizar essa área.

Passo 5

Vamos tentar simplificar para trabalhar com uma função de uma só variável. Resolvendo a equação do volume para :
Substituindo isso na expressão da área:
Simplificando:

Passo 6

Para facilitar, podemos assumir que a caixa é cúbica, ou seja, . Dessa forma:
Agora, queremos minimizar em relação a . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Com , como , então . Agora, calculamos :
Para garantir que encontramos um mínimo, verificamos a segunda derivada:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, temos um mínimo.

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de papelão são:
  • Largura: 40 cm
  • Comprimento: 40 cm
  • Altura: 20 cm

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