Uma caixa retangular sem tampa deve conter um volume máximo de 32000 cm 3 . Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão gasto. Justifique que o valor encontrado é de fato fornece um valor mínimo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa que precisa armazenar um volume de 32000 cm³. O objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que vão usar o mínimo de papelão possível. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de otimização em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
a largura da caixa. - Seja
o comprimento da caixa. - Seja
a altura da caixa.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E queremos que esse volume seja 32000 cm³:
Passo 4
A quantidade de papelão usado está relacionada à área superficial da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área superficial
é:
Queremos minimizar essa área.
Passo 5
Vamos tentar simplificar para trabalhar com uma função de uma só variável. Resolvendo a equação do volume para
:
Substituindo isso na expressão da área:
Simplificando:
Passo 6
Para facilitar, podemos assumir que a caixa é cúbica, ou seja,
. Dessa forma:
Agora, queremos minimizar
em relação a
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, como
, então
. Agora, calculamos
:
Para garantir que encontramos um mínimo, verificamos a segunda derivada:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva, temos um mínimo.
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de papelão são:
- Largura: 40 cm
- Comprimento: 40 cm
- Altura: 20 cm
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Seja
e
. Determine a direção onde a taxa de variação de
é máxima no ponto
. Justifique sua resposta.
Seja
e
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Resolva as seguintes equações diferenciais: (d)