Seja e . Determine a direção onde a taxa de variação de é máxima no ponto . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção onde a variação de é máxima no ponto . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao gradiente da função. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de no ponto e depois normalizar esse vetor para encontrar a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de , que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Sabemos que , então substituindo:
  1. Para em :
  2. Para em :
  3. Para em :

Passo 5

Então, o gradiente de no ponto é:
Esse vetor indica as direções de máxima variação da função em . Para encontrar a direção unitária correspondente, precisamos normalizar esse vetor.

Passo 6

A normalização de um vetor é dada por:
Onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Aplicando isso ao gradiente:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção onde a taxa de variação de é máxima no ponto é dada pelo vetor unitário

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