Seja f(x, y, z) = x * e^y + y * e^z + z * e^x, P = (0, 0, 0) e u = <5/raiz(30), 1/raiz(30), -2/raiz(30)>. Determine a direção onde a taxa de variação de f é máxima no ponto P. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção onde a variação de é máxima no ponto . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao gradiente da função. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de f no ponto P e depois normalizar esse vetor para encontrar a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de f, que é um vetor composto pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  2. Derivada parcial em relação a y:
  3. Derivada parcial em relação a z:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Sabemos que , então substituindo:
  1. Para em P:
  2. Para em P:
  3. Para em P:

Passo 5

Então, o gradiente de f no ponto P é:
Esse vetor indica as direções de máxima variação da função f em P. Para encontrar a direção unitária correspondente, precisamos normalizar esse vetor.

Passo 6

A normalização de um vetor é dada por:
Onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Aplicando isso ao gradiente:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção onde a taxa de variação de f é máxima no ponto P é dada pelo vetor unitário

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