Seja e . Determine a direção onde a taxa de variação de é máxima no ponto . Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a direção onde a variação de é máxima no ponto . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao gradiente da função. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de no ponto e depois normalizar esse vetor para encontrar a direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de , que é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Sabemos que , então substituindo:
Para em :
Para em :
Para em :
Passo 5
Então, o gradiente de no ponto é:
Esse vetor indica as direções de máxima variação da função em . Para encontrar a direção unitária correspondente, precisamos normalizar esse vetor.
Passo 6
A normalização de um vetor é dada por:
Onde é a norma (comprimento) do vetor, calculada por:
Aplicando isso ao gradiente:
Então, a direção unitária é:
Resposta
A direção onde a taxa de variação de é máxima no ponto é dada pelo vetor unitário