Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo aqui é encontrar o maior intervalo possível para onde podemos garantir que essa solução exista e seja única. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:

Passo 3

A teoria nos diz que, para garantir a existência e unicidade da solução de um PVI, as funções e devem ser contínuas no intervalo considerado e conter o ponto onde as condições iniciais são dadas, que aqui é .

Passo 4

Vamos analisar a continuidade de e :
  1. : A função cosseno é contínua para todo , ou seja, é contínua em .
  2. : A função logaritmo natural, , está definida e é contínua para . Portanto, é contínua apenas quando .

Passo 5

Como as condições iniciais estão em e só é contínua para , o maior intervalo onde ambas as funções e são contínuas e contém é:

Passo 6

Portanto, concluímos que o maior intervalo possível para garantir a existência e unicidade da solução desse PVI é de pertencente a .

Resposta

O maior intervalo possível para garantir a existência e unicidade da solução do PVI é .

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Resolva as seguintes equações diferenciais: (d)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (b)