Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo aqui é encontrar o maior intervalo possível para
onde podemos garantir que essa solução exista e seja única. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
Passo 3
A teoria nos diz que, para garantir a existência e unicidade da solução de um PVI, as funções
e
devem ser contínuas no intervalo considerado e conter o ponto onde as condições iniciais são dadas, que aqui é
.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de
e
:
-
: A função cosseno é contínua para todo , ou seja, é contínua em . -
: A função logaritmo natural, , está definida e é contínua para . Portanto, é contínua apenas quando .
Passo 5
Como as condições iniciais estão em
e
só é contínua para
, o maior intervalo onde ambas as funções
e
são contínuas e contém
é:
Passo 6
Portanto, concluímos que o maior intervalo possível para garantir a existência e unicidade da solução desse PVI é de
pertencente a
.
Resposta
O maior intervalo possível para garantir a existência e unicidade da solução do PVI é
.
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Seja
e
. Determine a direção onde a taxa de variação de
é máxima no ponto
. Justifique sua resposta.
Resolva as seguintes equações diferenciais: (d)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (b)