Seja f(x, y, z) = x * e^y + y * e^z + z * e^x, P = (0, 0, 0) e u = <5/raiz(30), 1/raiz(30), -2/raiz(30)>. Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

Passo 1

Vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa descobrir como a função está mudando no ponto na direção do vetor . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivada direcional em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e depois fazer o produto escalar com o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Sabemos que , então:
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :

Passo 5

Então, o gradiente de no ponto é:

Passo 6

A próxima etapa é calcular a derivada direcional de na direção do vetor . A fórmula para a derivada direcional é:
Isso significa que vamos fazer o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor .

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar:
Isso resulta em:

Resposta

A taxa de variação de em na direção do vetor é .

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