Seja e . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Passo 1
Vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa descobrir como a função está mudando no ponto na direção do vetor . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivada direcional em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e depois fazer o produto escalar com o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Sabemos que , então:
Em relação a :
Em relação a :
Em relação a :
Passo 5
Então, o gradiente de no ponto é:
Passo 6
A próxima etapa é calcular a derivada direcional de na direção do vetor . A fórmula para a derivada direcional é:
Isso significa que vamos fazer o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor .