Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, mais especificamente na área de otimização de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Então, os pontos críticos são: , , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando a matriz Hessiana. A Hessiana nos ajuda a classificar os pontos cr��ticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Calculando as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana é dada por:
O determinante da Hessiana é:

Passo 4

Vamos agora analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto (1, 1):
    Como e , este é um mínimo local.
  2. Ponto (1, -1):
    Como , este é um ponto de sela.
  3. Ponto (-1, 1):
    Novamente, como , este é um ponto de sela.
  4. Ponto (-1, -1):
    Como e , este é um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Pontos de sela em e

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