Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, mais especificamente na área de otimização de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Então, os pontos críticos são:
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando a matriz Hessiana. A Hessiana nos ajuda a classificar os pontos cr��ticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Calculando as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana
é dada por:
O determinante da Hessiana é:
Passo 4
Vamos agora analisar cada ponto crítico:
-
Ponto (1, 1):Como
e , este é um mínimo local. -
Ponto (1, -1):Como
, este é um ponto de sela. -
Ponto (-1, 1):Novamente, como
, este é um ponto de sela. -
Ponto (-1, -1):Como
e , este é um máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Pontos de sela em
e
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