Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice no primeiro octante positivo sobre o parabolóide . Determine o volume máximo da caixa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular que toca três dos planos coordenados (isto é, os planos , e ) e um dos seus vértices está sobre o parabolóide definido por . Nosso objetivo é encontrar o volume máximo que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, especificamente encontrando máximos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a caixa. Como três faces estão nos planos coordenados, podemos considerar que os vértices da caixa estão nos pontos , , , , , , e . O vértice está no primeiro octante, ou seja, , e está sobre o parabolóide .

Passo 3

O volume da caixa é dado pelo produto das suas dimensões:
Como sabemos que , podemos substituir essa expressão na fórmula do volume:

Passo 4

Para encontrar o volume máximo, precisamos otimizar a função . Isso significa que vamos procurar os valores de e que tornam o maior possível. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a e igualá-las a zero, encontrando assim os pontos críticos.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como e são positivos no primeiro octante, podemos dividir ambas as equações por e respectivamente, obtendo:

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos em uma das equações originais, por exemplo, na equação (1):
Portanto, . Substituindo e na equação do parabolóide para encontrar :

Resposta

O volume máximo da caixa é:
ú

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