Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice no primeiro octante positivo sobre o parabolóide
. Determine o volume máximo da caixa.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular que toca três dos planos coordenados (isto é, os planos
,
e
) e um dos seus vértices está sobre o parabolóide definido por
. Nosso objetivo é encontrar o volume máximo que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, especificamente encontrando máximos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a caixa. Como três faces estão nos planos coordenados, podemos considerar que os vértices da caixa estão nos pontos
,
,
,
,
,
,
e
. O vértice
está no primeiro octante, ou seja,
, e está sobre o parabolóide
.
Passo 3
O volume
da caixa é dado pelo produto das suas dimensões:
Como sabemos que
, podemos substituir essa expressão na fórmula do volume:
Passo 4
Para encontrar o volume máximo, precisamos otimizar a função
. Isso significa que vamos procurar os valores de
e
que tornam
o maior possível. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
e igualá-las a zero, encontrando assim os pontos críticos.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
e
são positivos no primeiro octante, podemos dividir ambas as equações por
e
respectivamente, obtendo:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
em uma das equações originais, por exemplo, na equação (1):
Portanto,
. Substituindo
e
na equação do parabolóide para encontrar
:
Resposta
O volume máximo da caixa é:
Exercícios relacionados
Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.
Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes: