Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 18 m² de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.

Passo 1

Então, a gente tem que fazer uma caixa retangular sem tampa usando 18 metros quadrados de papelão. O objetivo é descobrir qual é o volume máximo que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar o volume com a restrição da área do papelão.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • x de comprimento,
  • y de largura,
  • h de altura.

Passo 3

Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão será composta pela base e pelas quatro laterais. A fórmula para a área é:
Sabemos que essa área deve ser igual a 18 m²:

Passo 4

Queremos maximizar o volume da caixa. A fórmula do volume é:

Passo 5

Para facilitar, vamos assumir que a caixa é quadrada na base, ou seja, x = y. Assim, a área fica:
Podemos resolver essa equação para h:

Passo 6

Agora, substituímos h na fórmula do volume:
Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a zero:

Passo 7

Com x = \sqrt{6}, calculamos h:
Agora, o volume máximo é:

Resposta

O volume máximo da caixa é , aproximadamente 7,35 metros cúbicos.

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Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
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na região retangular de vértices P1=(-2,2), P2=(2,2), P3=(2,-2) e P4=(-2,-2).
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Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D dado:
f(x, y) = 2x + y ; D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4} e 3 x + y <= 6.
A temperatura T em graus Celsius em cada ponto da região x^2 + y^2 <= 1 é dada por T(x, y) 16x^2 + 24x + 40y^2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.