Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 18 m² de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.

Passo 1

Então, a gente tem que fazer uma caixa retangular sem tampa usando 18 metros quadrados de papelão. O objetivo é descobrir qual é o volume máximo que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar o volume com a restrição da área do papelão.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • x de comprimento,
  • y de largura,
  • h de altura.

Passo 3

Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão será composta pela base e pelas quatro laterais. A fórmula para a área é:
Sabemos que essa área deve ser igual a 18 m²:

Passo 4

Queremos maximizar o volume da caixa. A fórmula do volume é:

Passo 5

Para facilitar, vamos assumir que a caixa é quadrada na base, ou seja, x = y. Assim, a área fica:
Podemos resolver essa equação para h:

Passo 6

Agora, substituímos h na fórmula do volume:
Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a zero:

Passo 7

Com x = \sqrt{6}, calculamos h:
Agora, o volume máximo é:

Resposta

O volume máximo da caixa é , aproximadamente 7,35 metros cúbicos.

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