Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.
Passo 1
Então, a gente tem que fazer uma caixa retangular sem tampa usando 18 metros quadrados de papelão. O objetivo é descobrir qual é o volume máximo que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo para otimizar o volume com a restrição da área do papelão.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar:
- x de comprimento,
- y de largura,
- h de altura.
Passo 3
Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão será composta pela base e pelas quatro laterais. A fórmula para a área é:
Sabemos que essa área deve ser igual a 18 m²:
Passo 4
Queremos maximizar o volume da caixa. A fórmula do volume é:
Passo 5
Para facilitar, vamos assumir que a caixa é quadrada na base, ou seja, x = y. Assim, a área fica:
Podemos resolver essa equação para h:
Passo 6
Agora, substituímos h na fórmula do volume:
Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a zero:
Passo 7
Com x = \sqrt{6}, calculamos h:
Agora, o volume máximo é:
Resposta
O volume máximo da caixa é
, aproximadamente 7,35 metros cúbicos.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região retangular de vértices
e
.
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
.
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
e
.
A temperatura
em graus Celsius em cada ponto da região
é dada por
. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.