Determine os valores máximo e mínimo absoluto de no conjunto D dado: e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização, que é parte da matéria de Cálculo. A questão nos pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro de um conjunto definido por algumas restrições nas variáveis e . Para isso, vamos precisar identificar os pontos extremos do conjunto e calcular os valores de nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Ele é definido pelas seguintes condições:
Essas desigualdades representam um polígono no plano onde vamos procurar os pontos que podem dar os valores máximo e mínimo de .
Passo 3
Para encontrar os pontos extremos de , vamos resolver as equações das retas que formam as fronteiras do conjunto:
Interseção de e :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo em :
Portanto, um ponto extremo é .
Passo 4
Encontrando as outras interseções:
Quando :
Então, é um ponto extremo: .
Quando :
Então, outro ponto extremo é .
Interseção de e já foi considerado , mas como , excluímos .
Então, os pontos extremos são , e .
Passo 5
Agora, vamos calcular em cada um desses pontos:
Em :
Em :
Em :
Resposta
O valor mínimo absoluto de é no ponto e o valor máximo absoluto é no ponto .