Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D dado:
f(x, y) = 2x + y ; D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4} e 3 x + y <= 6.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização, que é parte da matéria de Cálculo. A questão nos pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro de um conjunto definido por algumas restrições nas variáveis e . Para isso, vamos precisar identificar os pontos extremos do conjunto e calcular os valores de nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Ele é definido pelas seguintes condições:
Essas desigualdades representam um polígono no plano onde vamos procurar os pontos que podem dar os valores máximo e mínimo de .

Passo 3

Para encontrar os pontos extremos de , vamos resolver as equações das retas que formam as fronteiras do conjunto:
  1. Interseção de e :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo em :
Portanto, um ponto extremo é .

Passo 4

Encontrando as outras interseções:
  • Quando :
Então, é um ponto extremo: .
  • Quando :
Então, outro ponto extremo é .
  • Interseção de e já foi considerado , mas como , excluímos .
Então, os pontos extremos são , e .

Passo 5

Agora, vamos calcular em cada um desses pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

O valor mínimo absoluto de é no ponto e o valor máximo absoluto é no ponto .

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Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 18 m² de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y) = 4 y^2 e^(- (x^2 + y^2))
na região retangular de vértices P1=(-2,2), P2=(2,2), P3=(2,-2) e P4=(-2,-2).
A temperatura T em graus Celsius em cada ponto da região x^2 + y^2 <= 1 é dada por T(x, y) 16x^2 + 24x + 40y^2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^3 * y + 3 * x + y