Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D dado:
f(x, y) = 2x + y ; D = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4} e 3 x + y <= 6.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização, que é parte da matéria de Cálculo. A questão nos pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro de um conjunto definido por algumas restrições nas variáveis e . Para isso, vamos precisar identificar os pontos extremos do conjunto e calcular os valores de nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Ele é definido pelas seguintes condições:
Essas desigualdades representam um polígono no plano onde vamos procurar os pontos que podem dar os valores máximo e mínimo de .

Passo 3

Para encontrar os pontos extremos de , vamos resolver as equações das retas que formam as fronteiras do conjunto:
  1. Interseção de e :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo em :
Portanto, um ponto extremo é .

Passo 4

Encontrando as outras interseções:
  • Quando :
Então, é um ponto extremo: .
  • Quando :
Então, outro ponto extremo é .
  • Interseção de e já foi considerado , mas como , excluímos .
Então, os pontos extremos são , e .

Passo 5

Agora, vamos calcular em cada um desses pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

O valor mínimo absoluto de é no ponto e o valor máximo absoluto é no ponto .

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