Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma função
e um conjunto
que representa todos os pontos
no plano que estão dentro ou na borda de um círculo de raio 2, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo que essa função
pode assumir dentro desse conjunto
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos buscar os pontos críticos da função
dentro do conjunto
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto
. Substituindo
e
na condição
:
Como a condição é verdadeira, esse ponto está dentro de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função
na borda do conjunto
, ou seja, onde
. Para facilitar, podemos parametrizar essa borda usando coordenadas polares:
Substituindo esses valores na função
:
Simplificando usando
:
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em relação a
.
Passo 6
Para encontrar os extremos da expressão
, podemos derivar em relação a
e igualar a zero:
Isso dá duas possibilidades:
Vamos avaliar a função nesses pontos.
Passo 7
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
O valor máximo absoluto de
no conjunto
é 8 e o valor mínimo absoluto é -17/8.
Exercícios relacionados
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região retangular de vértices
e
.
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.