Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D dado:
f(x, y) = 2 x^2 + x + y^2 - 2 ; D = {(x, y) em R^2 | x^2 + y^2 <= 4}.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma função e um conjunto que representa todos os pontos no plano que estão dentro ou na borda de um círculo de raio 2, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo que essa função pode assumir dentro desse conjunto . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos buscar os pontos críticos da função dentro do conjunto . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto . Substituindo e na condição :
Como a condição é verdadeira, esse ponto está dentro de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função na borda do conjunto , ou seja, onde . Para facilitar, podemos parametrizar essa borda usando coordenadas polares:
Substituindo esses valores na função :
Simplificando usando :
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão em relação a .

Passo 6

Para encontrar os extremos da expressão , podemos derivar em relação a e igualar a zero:
Isso dá duas possibilidades:
Vamos avaliar a função nesses pontos.

Passo 7

Para :
Para :
Para :

Resposta

O valor máximo absoluto de no conjunto é 8 e o valor mínimo absoluto é -17/8.

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