A temperatura
em graus Celsius em cada ponto da região
é dada por
. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.
Passo 1
Então, temos um desafio aqui! A gente precisa descobrir qual é a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios dentro de uma região redondinha definida pela equação
. A temperatura em cada ponto dessa região é dada por
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariado, especificamente otimização de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
, e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função pode atingir valores máximos ou mínimos.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos calcular a temperatura nesse ponto crítico:
Então, temos uma temperatura de
nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos verificar o comportamento da temperatura na borda da região, onde
. Para isso, podemos parametrizar a borda usando ângulos:
Substituindo na função
:
Usando identidades trigonométricas, podemos simplificar:
Para encontrar os extremos, derivamos
em relação a
e igualamos a zero, mas uma forma mais simples é reconhecer que essa é uma função quadrática em
:
Encontramos o valor de
que maximiza ou minimiza
. O vértice dessa parábola ocorre em:
Substituindo
em
:
Além disso, verificamos os valores nos extremos de
, ou seja,
e
:
Resposta
A temperatura mais fria na região é
e a mais quente é
.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
e
.
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Determine
, com
, que maximiza a soma
.