A temperatura T em graus Celsius em cada ponto da região x^2 + y^2 <= 1 é dada por T(x, y) 16x^2 + 24x + 40y^2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.

Passo 1

Então, temos um desafio aqui! A gente precisa descobrir qual é a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios dentro de uma região redondinha definida pela equação . A temperatura em cada ponto dessa região é dada por . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariado, especificamente otimização de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e igualá-las a zero. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função pode atingir valores máximos ou mínimos.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Igualando essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos calcular a temperatura nesse ponto crítico:
Então, temos uma temperatura de nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos verificar o comportamento da temperatura na borda da região, onde . Para isso, podemos parametrizar a borda usando ângulos:
Substituindo na função :
Usando identidades trigonométricas, podemos simplificar:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a e igualamos a zero, mas uma forma mais simples é reconhecer que essa é uma função quadrática em :
Encontramos o valor de que maximiza ou minimiza . O vértice dessa parábola ocorre em:
Substituindo em :
Além disso, verificamos os valores nos extremos de , ou seja, e :

Resposta

A temperatura mais fria na região é e a mais quente é .

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