Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região retangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
E precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos dessa função dentro de um retângulo que tem vértices nos pontos
,
,
e
. Basicamente, estamos procurando os pontos mais altos e mais baixos que a função atinge nesse retângulo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se existem pontos críticos dentro da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero:
-
implica que . Como nunca é zero, temos que ou . -
implica que . Novamente, nunca é zero, então ou , ou seja, .
Vamos analisar essas possibilidades:
- Se
, então pode ser , ou . - Se
, então pode ser qualquer valor, mas vamos focar nos pontos dentro do retângulo.
Portanto, temos possíveis pontos críticos em
,
e
.
Passo 3
Agora que encontramos os pontos críticos internos, vamos avaliar a função neles:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Então, até agora, temos que o valor máximo interno é aproximadamente
e o mínimo interno é
.
Passo 4
Mas não podemos esquecer que a função também pode atingir valores máximos ou mínimos nas bordas do retângulo. Vamos analisar cada lado do retângulo separadamente.
Lado 1:
, com
A função fica:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a
:
Igualando a zero, temos
ou
. Avaliando:
- Em
:
- Em
e :
Lado 2:
, com
Realmente, pela simetria da função, teremos os mesmos valores que no lado
:
- Em
: - Em
:
Lado 3:
, com
A função fica:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero, temos
. Avaliando:
- Em
:
Lado 4:
, com
Novamente, pela simetria:
- Em
:
Passo 5
Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
-
Pontos internos:
-
: -
e :
-
-
Bordas:
-
: -
: -
:
-
Comparando todos esses valores, o maior valor foi
e o menor foi
.
Resposta
O valor máximo absoluto da função é aproximadamente
nos pontos
e
, e o valor mínimo absoluto é
, atingido nos pontos
,
e
dentro da região considerada.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
.
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. determine o volume máximo dessa caixa.
Determine os valores máximo e mínimo absoluto de
no conjunto D dado:
e
.