Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y) = 4 y^2 e^(- (x^2 + y^2))
na região retangular de vértices P1=(-2,2), P2=(2,2), P3=(2,-2) e P4=(-2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = 4 y^2 e^(- (x^2 + y^2))
E precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos dessa função dentro de um retângulo que tem vértices nos pontos , , e P4=(-2,-2). Basicamente, estamos procurando os pontos mais altos e mais baixos que a função atinge nesse retângulo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existem pontos críticos dentro da região. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a x é:
E a derivada parcial em relação a y é:
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero:
  1. implica que . Como nunca é zero, temos que x = 0 ou .
  2. implica que . Novamente, nunca é zero, então ou , ou seja, .
Vamos analisar essas possibilidades:
  • Se x = 0, então y pode ser 0, 1 ou -1.
  • Se , então x pode ser qualquer valor, mas vamos focar nos pontos dentro do retângulo.
Portanto, temos possíveis pontos críticos em , e .

Passo 3

Agora que encontramos os pontos críticos internos, vamos avaliar a função neles:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :
Então, até agora, temos que o valor máximo interno é aproximadamente e o mínimo interno é 0.

Passo 4

Mas não podemos esquecer que a função também pode atingir valores máximos ou mínimos nas bordas do retângulo. Vamos analisar cada lado do retângulo separadamente.
Lado 1: x = 2, com -2 <= y <= 2
A função fica:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a y:
Igualando a zero, temos ou . Avaliando:
  • Em :
  • Em e :
Lado 2: , com -2 <= y <= 2
Realmente, pela simetria da função, teremos os mesmos valores que no lado x = 2:
  • Em : 0
  • Em :
Lado 3: , com -2 <= x <= 2
A função fica:
Derivando em relação a x:
Igualando a zero, temos x = 0. Avaliando:
  • Em :
Lado 4: , com -2 <= x <= 2
Novamente, pela simetria:
  • Em :

Passo 5

Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
  • Pontos internos:
    • : 0
    • e :
  • Bordas:
    • : 0
    • :
    • :
Comparando todos esses valores, o maior valor foi e o menor foi 0.

Resposta

O valor máximo absoluto da função é aproximadamente nos pontos e , e o valor mínimo absoluto é 0, atingido nos pontos , e dentro da região considerada.

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