lim x 1^+ x^4-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Perceba que se substituíssemos diretamente, tanto o numerador quanto o denominador seriam iguais a zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Sabemos que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de potências e pode ser fatorado da seguinte maneira:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
E o termo também pode ser fatorado:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa fatoração na expressão original do limite:
x^4-1x-1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)x - 1
Perceba que o termo (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)x - 1 = (x + 1)(x^2 + 1) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:

Passo 5

Agora, a expressão está simplificada para lim x 1^+ (x + 1)(x^2 + 1) . Vamos então calcular o limite quando (1 + 1)(1^2 + 1) = 2 times 2 = 4 se aproxima de 1:
Substituindo :

Resposta

O limite é igual a .

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