Suponha que, t horas após a injeção de x mg de adrenalina, a resposta seja R unidades, e R = t * e^(-t) * (c - x) * x onde c é uma constante positiva. Que valores de x e t causarão a resposta máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a resposta em função do tempo e da quantidade de adrenalina injetada. A função é dada por:
Aqui, é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que seja máxima. Para isso, vamos usar o conteúdo de otimização de funções de duas variáveis e cálculo diferencial. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e encontrar onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante. A função que vamos derivar é:
Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada parcial em relação a a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero para , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Mantendo , derivamos:
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Igualando a derivada parcial em relação a a zero:
Novamente, e nunca são zero, então:

Resposta

Para que a resposta seja máxima, devemos injetar:

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