Suponha que,
horas após a injeção de
de adrenalina, a resposta seja
unidades, e
onde
é uma constante positiva. Que valores de
e
causarão a resposta máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a resposta
em função do tempo
e da quantidade de adrenalina
injetada. A função é dada por:
Aqui,
é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem com que
seja máxima. Para isso, vamos usar o conteúdo de otimização de funções de duas variáveis e cálculo diferencial. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e encontrar onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante. A função que vamos derivar é:
Aplicando a regra do produto, temos:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada parcial em relação a
a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero para
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Mantendo
, derivamos:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando a derivada parcial em relação a
a zero:
Novamente,
e
nunca são zero, então:
Resposta
Para que a resposta
seja máxima, devemos injetar:
Exercícios relacionados
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de
para o material. O custo do material para a base é
o decímetro quadrado, e o material para os lados custa
o decímetro quadrado. Ache as dimensões da caixa com volume máximo que pode ser feita.
Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b) , se
e
, se
.
c)
d) ;
e)
f)
g)
h) ;
i)
j) ;
k) ;
l)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
O par de funções
e
, é uma solução do sistema
para todo
.