Suponha que, horas após a injeção de de adrenalina, a resposta seja unidades, e onde é uma constante positiva. Que valores de e causarão a resposta máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa a resposta em função do tempo e da quantidade de adrenalina injetada. A função é dada por:
Aqui, é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que seja máxima. Para isso, vamos usar o conteúdo de otimização de funções de duas variáveis e cálculo diferencial. Precisaremos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e encontrar onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante. A função que vamos derivar é:
Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada parcial em relação a a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero para , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Mantendo , derivamos:
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Igualando a derivada parcial em relação a a zero:
Novamente, e nunca são zero, então:

Resposta

Para que a resposta seja máxima, devemos injetar:

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Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de para o material. O custo do material para a base é o decímetro quadrado, e o material para os lados custa o decímetro quadrado. Ache as dimensões da caixa com volume máximo que pode ser feita.
Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b) , se e , se .
c)
d) ;
e)
f)
g)
h) ;
i)
j) ;
k) ;
l)
O par de funções e , é uma solução do sistema para todo .