Uma caixa retangular sem tampa é feita de de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular sem tampa feita de 12 metros quadrados de papelão. Nosso objetivo é descobrir o volume máximo que essa caixa pode ter usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções de volume e área, além de aplicar cálculo de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as dimensões da caixa. Vamos chamar:
x: o comprimento da base,
y: a largura da base,
h: a altura da caixa.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume da caixa e a restrição da área de papelão disponível.
O volume da caixa é dado por:
A área total do papelão usada para a caixa (sem tampa) é:
E sabemos que .
Passo 4
Como queremos maximizar o volume V sujeito à restrição da área A, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange. Isso significa que precisamos igualar o gradiente de ao gradiente de multiplicado por um multiplicador . Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular os gradientes de e :
Gradiente de :
Gradiente de :
Passo 6
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Essas equações nos permitem relacionar as variáveis , e .
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações. Observando que, para simplificar, assumimos que a caixa terá todas as dimensões iguais, então . Substituindo, temos:
Passo 8
Isolando uma variável, por exemplo, :
Passo 9
Agora, expressamos o volume em função de :
Passo 10
Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero: