Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12 m^2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular sem tampa feita de 12 metros quadrados de papelão. Nosso objetivo é descobrir o volume máximo que essa caixa pode ter usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções de volume e área, além de aplicar cálculo de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • x: o comprimento da base,
  • y: a largura da base,
  • h: a altura da caixa.

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume da caixa e a restrição da área de papelão disponível.
  • O volume da caixa é dado por:
  • A área total do papelão usada para a caixa (sem tampa) é:
    E sabemos que ².

Passo 4

Como queremos maximizar o volume V sujeito à restrição da área A, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange. Isso significa que precisamos igualar o gradiente de ao gradiente de multiplicado por um multiplicador . Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular os gradientes de e :
  • Gradiente de :
  • Gradiente de :

Passo 6

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Essas equações nos permitem relacionar as variáveis , e .

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações. Observando que, para simplificar, assumimos que a caixa terá todas as dimensões iguais, então . Substituindo, temos:

Passo 8

Isolando uma variável, por exemplo, :

Passo 9

Agora, expressamos o volume em função de :

Passo 10

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 11

Com , encontramos :

Passo 12

Agora, calculamos o volume máximo:
³

Resposta

O volume máximo da caixa é de 4 metros cúbicos.

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