Encontre o ponto da esfera
que está mais afastado da origem
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema: temos uma esfera dada pela equação
, e precisamos encontrar o ponto nessa esfera que está mais distante da origem
. Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no espaço tridimensional e propriedades das esferas.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula para a distância entre os pontos
e
é:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer da esfera e a origem
.
Passo 3
A equação da esfera é
. Isso significa que o centro da esfera está no ponto
e o raio é
.
Passo 4
Para encontrar o ponto na esfera que está mais distante da origem, devemos maximizar a distância
entre um ponto
na esfera e a origem. Aplicando a fórmula da distância:
Como queremos maximizar
, podemos maximizar
para simplificar os cálculos.
Passo 5
Usando a equação da esfera, sabemos que:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 6
Queremos maximizar
. Observando a equação simplificada da esfera:
Portanto, maximizar
é equivalente a maximizar
.
Passo 7
A maximização de
ocorre no ponto da esfera que está na mesma direção do vetor normal à esfera a partir da origem. Como o centro da esfera é
, o ponto mais distante da origem será na direção do vetor
a partir do centro.
Passo 8
Parametrizamos o ponto mais distante como:
Substituindo na equação da esfera:
Passo 9
Substituindo
no parâmetro do ponto:
Resposta
O ponto na esfera que está mais afastado da origem é
.
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