Encontre o ponto da esfera (x-2)² + (y-2)² + (z-2)² = 27 que está mais afastado da origem (0, 0, 0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema: temos uma esfera dada pela equação (x-2)² + (y-2)² + (z-2)² = 27, e precisamos encontrar o ponto nessa esfera que está mais distante da origem (0, 0, 0). Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no espaço tridimensional e propriedades das esferas.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula para a distância entre os pontos P(x, y, z) e é:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer da esfera e a origem (0, 0, 0).

Passo 3

A equação da esfera é (x-2)² + (y-2)² + (z-2)² = 27. Isso significa que o centro da esfera está no ponto 2,2,2 e o raio é .

Passo 4

Para encontrar o ponto na esfera que está mais distante da origem, devemos maximizar a distância d entre um ponto (x, y, z) na esfera e a origem. Aplicando a fórmula da distância:
Como queremos maximizar d, podemos maximizar para simplificar os cálculos.

Passo 5

Usando a equação da esfera, sabemos que:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 6

Queremos maximizar . Observando a equação simplificada da esfera:
Portanto, maximizar é equivalente a maximizar .

Passo 7

A maximização de ocorre no ponto da esfera que está na mesma direção do vetor normal à esfera a partir da origem. Como o centro da esfera é 2,2,2, o ponto mais distante da origem será na direção do vetor 2,2,2 a partir do centro.

Passo 8

Parametrizamos o ponto mais distante como:
Substituindo na equação da esfera:

Passo 9

Substituindo no parâmetro do ponto:

Resposta

O ponto na esfera que está mais afastado da origem é .

Exercícios relacionados