Encontre o ponto da esfera que está mais afastado da origem .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema: temos uma esfera dada pela equação , e precisamos encontrar o ponto nessa esfera que está mais distante da origem . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente o cálculo de distâncias entre pontos no espaço tridimensional e propriedades das esferas.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A fórmula para a distância entre os pontos e é:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer da esfera e a origem .

Passo 3

A equação da esfera é . Isso significa que o centro da esfera está no ponto e o raio é .

Passo 4

Para encontrar o ponto na esfera que está mais distante da origem, devemos maximizar a distância entre um ponto na esfera e a origem. Aplicando a fórmula da distância:
Como queremos maximizar , podemos maximizar para simplificar os cálculos.

Passo 5

Usando a equação da esfera, sabemos que:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 6

Queremos maximizar . Observando a equação simplificada da esfera:
Portanto, maximizar é equivalente a maximizar .

Passo 7

A maximização de ocorre no ponto da esfera que está na mesma direção do vetor normal à esfera a partir da origem. Como o centro da esfera é , o ponto mais distante da origem será na direção do vetor a partir do centro.

Passo 8

Parametrizamos o ponto mais distante como:
Substituindo na equação da esfera:

Passo 9

Substituindo no parâmetro do ponto:

Resposta

O ponto na esfera que está mais afastado da origem é .

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