Devemos construir um tanque de fundo e paredes retangulares, aberto no topo. O custo da construção do metro quadrado de fundo é de e o do metro quadrado das laterais é de . Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de para cobrir o custo da construção do fundo e dos lados. Qual é esse volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir um tanque com fundo e paredes retangulares, mas sem tampa. O custo para construir o fundo é de $5 por metro quadrado, e para as laterais, $20 por metro quadrado. O orçamento total disponível é de $960. Nosso objetivo é encontrar as dimensões desse tanque que permitam o maior volume possível, usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • : comprimento do tanque (em metros)
  • : largura do tanque (em metros)
  • : altura do tanque (em metros)
O volume do tanque é dado por:
Queremos maximizar .

Passo 3

Agora, vamos expressar o custo total em função das variáveis. O custo do fundo é:
As laterais são compostas por duas paredes de e duas de , então:
O custo total é a soma desses dois custos:
Essa é nossa restrição.

Passo 4

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Para encontrar os valores máximos, calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , e , e igualamos a zero:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Observando as primeiras duas equações:
Dividindo a primeira pela segunda (assumindo e ):
Simplificando:
Isso implica que . Então, o tanque tem comprimento e largura iguais.

Passo 7

Agora que sabemos que , podemos simplificar as equações. Usando a terceira equação:
Como :
Dividindo por (assumindo ):

Passo 8

Substituímos e na primeira equação:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos usar a restrição de custo:
Como :
Dividindo tudo por 5:

Passo 10

Temos duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 11

Substituímos na primeira equação:
Simplificando:

Passo 12

Agora, podemos expressar em termos de :
Mas como queremos maximizar o volume , precisamos expressar tudo em termos de uma única variável. Já temos em função de , então podemos escrever:

Passo 13

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 14

Como , então metros.
Agora, encontramos :

Resposta

As dimensões do tanque que proporcionam o volume máximo são:
  • Comprimento: 8 metros
  • Largura: 8 metros
  • Altura: 1 metro
O volume máximo é de metros cúbicos.

Exercícios relacionados

( pontos) Seja , calcule , em que , onde e o segmento de reta que une os pontos e , e e o segmento de reta que une os pontos e
Uma caixa retangular sem tampa é feita de de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange.
( porto) Calcular , em que é a fronteira da região entre os gráficos de e e