Devemos construir um tanque de fundo e paredes retangulares, aberto no topo. O custo da construção do metro quadrado de fundo é de 5 \$ e o do metro quadrado das laterais é de e o do metro quadrado das laterais é de. Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de 960 reais para cobrir o custo da construção do fundo e dos lados. Qual é esse volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir um tanque com fundo e paredes retangulares, mas sem tampa. O custo para construir o fundo é de $5 por metro quadrado, e para as laterais, $20 por metro quadrado. O orçamento total disponível é de $960. Nosso objetivo é encontrar as dimensões desse tanque que permitam o maior volume possível, usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • : comprimento do tanque (em metros)
  • : largura do tanque (em metros)
  • : altura do tanque (em metros)
O volume do tanque é dado por:
Queremos maximizar .

Passo 3

Agora, vamos expressar o custo total em função das variáveis. O custo do fundo é:
As laterais são compostas por duas paredes de e duas de , então:
O custo total é a soma desses dois custos:
Essa é nossa restrição.

Passo 4

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Para encontrar os valores máximos, calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , , e , e igualamos a zero:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Observando as primeiras duas equações:
Dividindo a primeira pela segunda (assumindo e ):
Simplificando:
Isso implica que . Então, o tanque tem comprimento e largura iguais.

Passo 7

Agora que sabemos que , podemos simplificar as equações. Usando a terceira equação:
Como :
Dividindo por (assumindo ):

Passo 8

Substituímos e na primeira equação:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos usar a restrição de custo:
Como :
Dividindo tudo por 5:

Passo 10

Temos duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 11

Substituímos na primeira equação:
Simplificando:

Passo 12

Agora, podemos expressar em termos de :
Mas como queremos maximizar o volume , precisamos expressar tudo em termos de uma única variável. Já temos em função de , então podemos escrever:

Passo 13

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 14

Como , então metros.
Agora, encontramos :

Resposta

As dimensões do tanque que proporcionam o volume máximo são:
  • Comprimento: 8 metros
  • Largura: 8 metros
  • Altura: 1 metro
O volume máximo é de metros cúbicos.

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