Devemos construir um tanque de fundo e paredes retangulares, aberto no topo. O custo da construção do metro quadrado de fundo é de
e o do metro quadrado das laterais é de
. Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de
para cobrir o custo da construção do fundo e dos lados. Qual é esse volume máximo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir um tanque com fundo e paredes retangulares, mas sem tampa. O custo para construir o fundo é de $5 por metro quadrado, e para as laterais, $20 por metro quadrado. O orçamento total disponível é de $960. Nosso objetivo é encontrar as dimensões desse tanque que permitam o maior volume possível, usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: comprimento do tanque (em metros) -
: largura do tanque (em metros) -
: altura do tanque (em metros)
O volume
do tanque é dado por:
Queremos maximizar
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o custo total em função das variáveis. O custo do fundo é:
As laterais são compostas por duas paredes de
e duas de
, então:
O custo total é a soma desses dois custos:
Essa é nossa restrição.
Passo 4
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangiana:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Para encontrar os valores máximos, calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
, e igualamos a zero:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Observando as primeiras duas equações:
Dividindo a primeira pela segunda (assumindo
e
):
Simplificando:
Isso implica que
. Então, o tanque tem comprimento e largura iguais.
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos simplificar as equações. Usando a terceira equação:
Como
:
Dividindo por
(assumindo
):
Passo 8
Substituímos
e
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos usar a restrição de custo:
Como
:
Dividindo tudo por 5:
Passo 10
Temos duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 11
Substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 12
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Mas como queremos maximizar o volume
, precisamos expressar tudo em termos de uma única variável. Já temos
em função de
, então podemos escrever:
Passo 13
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 14
Como
, então
metros.
Agora, encontramos
:
Resposta
As dimensões do tanque que proporcionam o volume máximo são:
- Comprimento: 8 metros
- Largura: 8 metros
- Altura: 1 metro
O volume máximo é de
metros cúbicos.
Exercícios relacionados
(
pontos) Seja
, calcule
, em que
, onde
e o segmento de reta que une os pontos
e
, e
e o segmento de reta que une os pontos
e
Uma caixa retangular sem tampa é feita de
de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange.
(
porto) Calcular
, em que
é a fronteira da região entre os gráficos de
e
e