( pontos) Seja , calcule , em que , onde e o segmento de reta que une os pontos e , e e o segmento de reta que une os pontos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha de uma função ao longo de um caminho , que é composto por dois segmentos de reta, e . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar esses segmentos de reta e como calcular a integral de linha usando parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho , que é o segmento de reta que vai do ponto até . Para parametrizar uma reta, usamos uma variável que varia de 0 a 1. A parametrização geral é:
onde e .
Substituindo:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o caminho , que é o segmento de reta de até . Usando a mesma abordagem:
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para ambos os segmentos.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos expressar a função em termos de para cada segmento.
Para :
Para :

Passo 6

A integral de linha pode ser dividida em duas integrais, uma para cada segmento:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 7

Para :
Como a integral de uma função vetorial pode ser tratada componente a componente, temos:
Calculando a integral:

Passo 8

Para :
Novamente, tratando componente a componente:
Calculando a integral:

Resposta

Somando as integrais de e :
Portanto, a integral de linha é .

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