(
pontos) Seja
, calcule
, em que
, onde
e o segmento de reta que une os pontos
e
, e
e o segmento de reta que une os pontos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha de uma função ao longo de um caminho
, que é composto por dois segmentos de reta,
e
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar esses segmentos de reta e como calcular a integral de linha usando parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
, que é o segmento de reta que vai do ponto
até
. Para parametrizar uma reta, usamos uma variável
que varia de 0 a 1. A parametrização geral é:
onde
e
.
Substituindo:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o caminho
, que é o segmento de reta de
até
. Usando a mesma abordagem:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para ambos os segmentos.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a função
em termos de
para cada segmento.
Para
:
Para
:
Passo 6
A integral de linha
pode ser dividida em duas integrais, uma para cada segmento:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 7
Para
:
Como a integral de uma função vetorial pode ser tratada componente a componente, temos:
Calculando a integral:
Passo 8
Para
:
Novamente, tratando componente a componente:
Calculando a integral:
Resposta
Somando as integrais de
e
:
Portanto, a integral de linha é
.