( 1,5 pontos) Seja varphi(x, y)=x^2+y^2, calcule integralC p d r, em que C=C1 cup C2, onde C1 e o segmento de reta que une os pontos (-1,0) e (0,1), e C2 e o segmento de reta que une os pontos (0,1) e (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha de uma função ao longo de um caminho , que é composto por dois segmentos de reta, e . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar esses segmentos de reta e como calcular a integral de linha usando parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho r(t) = (1 - t)A + tB , que é o segmento de reta que vai do ponto r1(t) = (1 - t)(-1, 0) + t(0, 1) = (-1 + t, t) até x(t) = -1 + t y(t) = t . Para parametrizar uma reta, usamos uma variável que varia de 0 a 1. A parametrização geral é:
onde e .
Substituindo:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o caminho r2(t) = (1 - t)(0, 1) + t(1, 0) = (t, 1 - t) , que é o segmento de reta de x(t) = t y(t) = 1 - t até . Usando a mesma abordagem:
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de dr1dt = ( dxdt, dydt ) = (1, 1) em relação a dr2dt = ( dxdt, dydt ) = (1, -1) para ambos os segmentos.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos expressar a função varphi(r1(t)) = (-1 + t)^2 + t^2 = (1 - 2t + t^2) + t^2 = 1 - 2t + 2t^2 em termos de varphi(r2(t)) = t^2 + (1 - t)^2 = t^2 + 1 - 2t + t^2 = 1 - 2t + 2t^2 para cada segmento.
Para :
Para :

Passo 6

A integral de linha integralC varphi , dr = integralC1 varphi , dr + integralC2 varphi , dr pode ser dividida em duas integrais, uma para cada segmento:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 7

Para integralC1 varphi , dr = integral0^1 varphi(r1(t)) cdot dr1dt , dt = integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot (1, 1) , dt :
integralC1 varphi , dr = integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot 1 , dt + integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot 1 , dt = 2 integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) , dt
Como a integral de uma função vetorial pode ser tratada componente a componente, temos:
2 [ t - t^2 + 23t^3 ]0^1 = 2 (1 - 1 + 23) = 2 cdot 23 = 43
Calculando a integral:

Passo 8

Para integralC2 varphi , dr = integral0^1 varphi(r2(t)) cdot dr2dt , dt = integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot (1, -1) , dt :
integralC2 varphi , dr = integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot 1 , dt + integral0^1 (1 - 2t + 2t^2) cdot (-1) , dt
Novamente, tratando componente a componente:
[ t - t^2 + 23t^3 ]0^1 - [ t - t^2 + 23t^3 ]0^1 = (1 - 1 + 23) - (1 - 1 + 23) = 23 - 23 = 0
Calculando a integral:

Resposta

Somando as integrais de integralC varphi , dr = 43 + 0 = 43 e :
Portanto, a integral de linha é .

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