Um granjeiro resolve construir num terreno plano uma gaiola em forma de caixa retangular, em que as paredes laterais e o teto serão de tela de arame. Usando multiplicador de Lagrange, determine as dimensões da gaiola de maior volume que poderá ser construída com de tela. Determine, também, o volume dessa gaiola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um enunciado onde um granjeiro quer construir uma gaiola retangular usando arame para as paredes laterais e o teto. Ele tem 48 metros quadrados de arame disponíveis. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa gaiola para que o volume seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar o método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização sujeita a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir bem as variáveis que vamos usar:
  • Seja o comprimento da gaiola.
  • Seja a largura da gaiola.
  • Seja a altura da gaiola.
Essas serão as dimensões que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume da gaiola e a área de arame que será usada.
  • O volume da gaiola é dado por:
  • A área de arame utilizada para as paredes laterais e o teto é:
    • Paredes laterais: temos duas paredes com área e duas com .
    • Teto: área .
    Então, a área total de arame é:
Sabemos que .

Passo 4

Como queremos maximizar o volume sujeito à restrição da área , vamos montar a função de Lagrange :
Substituindo e :

Passo 5

Para encontrar os valores ótimos, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Do primeiro e segundo eqs:
Dividindo as duas equações:
Simplificando:
  1. Agora, sabemos que . Vamos usar na terceira equação:
  1. Substituindo e na primeira equação:
  1. Agora, sabemos que . Vamos usar na restrição da área:
  1. Então:

Resposta

As dimensões da gaiola de maior volume são:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura
O volume dessa gaiola é:

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