Um granjeiro resolve construir num terreno plano uma gaiola em forma de caixa retangular, em que as paredes laterais e o teto serão de tela de arame. Usando multiplicador de Lagrange, determine as dimensões da gaiola de maior volume que poderá ser construída com
de tela. Determine, também, o volume dessa gaiola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um enunciado onde um granjeiro quer construir uma gaiola retangular usando arame para as paredes laterais e o teto. Ele tem 48 metros quadrados de arame disponíveis. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões dessa gaiola para que o volume seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar o método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização sujeita a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir bem as variáveis que vamos usar:
- Seja
o comprimento da gaiola. - Seja
a largura da gaiola. - Seja
a altura da gaiola.
Essas serão as dimensões que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume da gaiola e a área de arame que será usada.
-
O volume
da gaiola é dado por: -
A área de arame utilizada para as paredes laterais e o teto é:
- Paredes laterais: temos duas paredes com área
e duas com . - Teto: área
.
Então, a área total de arameé: - Paredes laterais: temos duas paredes com área
Sabemos que
.
Passo 4
Como queremos maximizar o volume
sujeito à restrição da área
, vamos montar a função de Lagrange
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Para encontrar os valores ótimos, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
- Do primeiro e segundo eqs:
Dividindo as duas equações:
Simplificando:
- Agora, sabemos que
. Vamos usar na terceira equação:
- Substituindo
e na primeira equação:
- Agora, sabemos que
. Vamos usar na restrição da área:
- Então:
Resposta
As dimensões da gaiola de maior volume são:
- Comprimento
- Largura
- Altura
O volume dessa gaiola é:
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que está mais afastado da origem
.
Qual é o maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação
.
Uma caixa retangular sem tampa é feita de
de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa utilizando multiplicador de Lagrange.
(
pontos) Seja
, calcule
, em que
, onde
e o segmento de reta que une os pontos
e
, e
e o segmento de reta que une os pontos
e