Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente as ferramentas de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Resolvemos a equação (2) para
:
Passo 6
Substituímos
na equação (1):
Passo 7
Fatoramos a equação resultante:
Então,
ou
.
Resolvendo a segunda equação:
Então,
ou
.
Passo 8
Agora, encontramos os valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 9
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 10
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
- Ponto (4, 8):
Como
e
, o ponto é um máximo local.
- Ponto (-2, -4):
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Resposta
- O ponto
é um ponto de sela. - Os pontos
e são máximos locais.
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