Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente as ferramentas de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Resolvemos a equação (2) para :

Passo 6

Substituímos na equação (1):

Passo 7

Fatoramos a equação resultante:
Então, ou .
Resolvendo a segunda equação:
Então, ou .

Passo 8

Agora, encontramos os valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 9

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 10

O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
Como , o ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (4, 8):
Como e , o ponto é um máximo local.
  1. Ponto (-2, -4):
Como e , o ponto é um máximo local.

Resposta

  • O ponto é um ponto de sela.
  • Os pontos e são máximos locais.

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