Determine os pontos do círculo que estão mais próximos e afastados de . Utilizando multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no círculo dado pela equação que estão mais próximos e mais afastados do ponto . Para isso, vamos usar uma técnica chamada multiplicadores de Lagrange, que é ótima para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição. No nosso caso, queremos minimizar e maximizar a distância entre dois pontos com a restrição de que os pontos estão no círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que queremos otimizar. Queremos minimizar e maximizar a distância entre um ponto no círculo e o ponto . A distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar e maximizar o quadrado da distância, que é:
Isso porque o quadrado da distância aumenta ou diminui de forma proporcional à distância, e evitará trabalhar com a raiz quadrada.

Passo 3

A restrição que temos é que os pontos devem estar no círculo . Vamos chamar essa restrição de :

Passo 4

Agora, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
Substituindo e :
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a levar em conta a restrição.

Passo 5

Para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero.
Calculando as derivadas:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a (a própria restrição):

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, das duas primeiras equações, podemos isolar :
  1. Da equação em :
  1. Da equação em :
Como é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as duas expressões:

Passo 7

Vamos resolver a equação resultante:
Multiplicando os denominadores para eliminar as frações:
Distribuindo:
Simplificando:
Então, descobrimos que .

Passo 8

Agora, vamos substituir na restrição original :
Assim, temos duas soluções para :
Correspondentemente, os valores de são:

Passo 9

Portanto, os pontos que satisfazem a condição são e .
Agora, para determinar qual deles está mais próximo e qual está mais afastado de , vamos calcular a distância quadrada de cada ponto:
  1. Para :
  1. Para :
Como 20 < 80, o ponto está mais próximo de e o ponto está mais afastado.

Resposta

O ponto no círculo que está mais próximo de é e o que está mais afastado é .

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