Determine os pontos do círculo
que estão mais próximos e afastados de
. Utilizando multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no círculo dado pela equação
que estão mais próximos e mais afastados do ponto
. Para isso, vamos usar uma técnica chamada multiplicadores de Lagrange, que é ótima para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição. No nosso caso, queremos minimizar e maximizar a distância entre dois pontos com a restrição de que os pontos estão no círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que queremos otimizar. Queremos minimizar e maximizar a distância entre um ponto
no círculo e o ponto
. A distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar e maximizar o quadrado da distância, que é:
Isso porque o quadrado da distância aumenta ou diminui de forma proporcional à distância, e evitará trabalhar com a raiz quadrada.
Passo 3
A restrição que temos é que os pontos
devem estar no círculo
. Vamos chamar essa restrição de
:
Passo 4
Agora, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
Substituindo
e
:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a levar em conta a restrição.
Passo 5
Para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero.
Calculando as derivadas:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a própria restrição):
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Primeiro, das duas primeiras equações, podemos isolar
:
- Da equação em
:
- Da equação em
:
Como
é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as duas expressões:
Passo 7
Vamos resolver a equação resultante:
Multiplicando os denominadores para eliminar as frações:
Distribuindo:
Simplificando:
Então, descobrimos que
.
Passo 8
Agora, vamos substituir
na restrição original
:
Assim, temos duas soluções para
:
Correspondentemente, os valores de
são:
Passo 9
Portanto, os pontos que satisfazem a condição são
e
.
Agora, para determinar qual deles está mais próximo e qual está mais afastado de
, vamos calcular a distância quadrada de cada ponto:
- Para
:
- Para
:
Como 20 < 80, o ponto
está mais próximo de
e o ponto
está mais afastado.
Resposta
O ponto no círculo
que está mais próximo de
é
e o que está mais afastado é
.
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