Uma caixa está sendo puxada rampa acima por uma força, em Newtons, descrita pela função: F(x)=4x²-x+7. A superfície da rampa coincide com o eixo das abscissas do plano cartesiano. Assinale a opção que apresenta o trabalho realizado para a caixa se deslocar entre os pontos x0=5m e x= 12m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa sendo puxada para cima de uma rampa por uma força que varia com a posição. A função dessa força é $ F(x) = 4x^2 - x + 7 $ Newtons. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por essa força quando a caixa se move do ponto $ x_0 = 5 $ metros até $ x = 12 $ metros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de trabalho através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral da força ao longo dessa trajetória. Matemáticamente, isso é expresso como:
W
No nosso caso, $ F(x) = 4x^2 - x + 7 $, $ x_0 = 5 $ m e $ x = 12 $ m.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral com os valores que temos:
W = integral5^12 (4x^2 - x + 7) , dx
Essa integral vai nos dar o trabalho total realizado pela força ao mover a caixa de 5 metros até 12 metros.

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral 4x^2 , dx = 43x^3
integral -x , dx = -12x^2
integral 7 , dx = 7x
Então, a antiderivada de $ F(x) $ é:
F(x)

Passo 5

Agora, aplicamos os limites da integral, substituindo $ x = 12 $ e $ x = 5 $ na antiderivada e calculando a diferença:
x = 12

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para $ x = 12 $:
x = 12
43(12)^3 = 43 times 1728 = 2304
-12(12)^2 = -12 times 144 = -72
Total para $ x = 12 $:
7(12) = 84
Para $ x = 5 $:
x = 12
2304 - 72 + 84 = 2316
x = 5
Total para $ x = 5 $:
43(5)^3 = 43 times 125 approx 166.67

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
W = 2316 - 189.17 = 2126.83 Jou<=s

Resposta

O trabalho realizado para a caixa se deslocar de 5 metros até 12 metros é aproximadamente 2126,83 Joules.

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