Uma caixa está sendo puxada rampa acima por uma força, em Newtons, descrita pela função: F(x)=4x²-x+7. A superfície da rampa coincide com o eixo das abscissas do plano cartesiano. Assinale a opção que apresenta o trabalho realizado para a caixa se deslocar entre os pontos x0=5m e x= 12m.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma caixa sendo puxada para cima de uma rampa por uma força que varia com a posição. A função dessa força é $ F(x) = 4x^2 - x + 7 $ Newtons. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por essa força quando a caixa se move do ponto $ x_0 = 5 $ metros até $ x = 12 $ metros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de trabalho através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral da força ao longo dessa trajetória. Matemáticamente, isso é expresso como:
No nosso caso, $ F(x) = 4x^2 - x + 7 $, $ x_0 = 5 $ m e $ x = 12 $ m.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral com os valores que temos:
Essa integral vai nos dar o trabalho total realizado pela força ao mover a caixa de 5 metros até 12 metros.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a antiderivada de $ F(x) $ é:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites da integral, substituindo $ x = 12 $ e $ x = 5 $ na antiderivada e calculando a diferença:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para $ x = 12 $:
Para $ x = 12 $:
Total para $ x = 12 $:
Para $ x = 5 $:
Total para $ x = 5 $:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
O trabalho realizado para a caixa se deslocar de 5 metros até 12 metros é aproximadamente 2126,83 Joules.