Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 3 pés de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.
(d) Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.

Passo 1

Então, a gente tem uma caixa sem tampa que vai ser feita de um pedaço de papelão quadrado com 3 pés de largura. A ideia é cortar um quadrado de cada canto e dobrar as laterais pra cima pra formar a caixa. O conteúdo que estamos estudando aqui é geometria, especificamente volume de sólidos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o volume da caixa em função do tamanho dos quadrados que a gente vai cortar.

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis. Vamos chamar o lado do quadrado que vamos cortar de . Então, se a folha é um quadrado de 3 pés de lado, ao cortar de cada canto, o novo comprimento e a nova largura da base da caixa vão ser (porque cortamos de cada lado).

Passo 3

Agora, para calcular o volume da caixa, a gente usa a fórmula do volume de um paralelepípedo: comprimento vezes largura vezes altura. Aqui, o comprimento e a largura são e a altura é .

Passo 4

Então, a equação que relaciona o volume com a variável fica assim:
Ou seja,

Resposta

A equação que relaciona o volume com a variável é:

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