As fórmulas seguintes, chamadas fórmulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial:
& 1 d T / d s=kappa N & 2 d N / d s=-kappa T+tau B & 3 d B / d s=-tau N
(A Fórmula 1 é fornecida a partir do Exercício 57 e da Fórmula 3 vem de Exercício 59.) Use o fato de que N=B times T para deduzir Fórmula 2 a partir das Fórmulas 1 e 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as fórmulas de Frenet-Serret, que são super importantes na geometria diferencial para descrever como uma curva se comporta no espaço. A gente precisa usar a relação N = B times T, que liga os vetores normal ( N), binormal ( B) e tangente ( T) da curva. Para deduzir a Fórmula 2 usando as Fórmulas 1 e 3, vamos seguir alguns passos básicos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada do vetor normal em relação ao comprimento de arco ( s) é aquilo que a Fórmula 2 quer nos mostrar: dN/ds. Sabemos que N = B times T, então vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a s.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivadas de vetores, temos:
dNds = dds (B times T) = dBds times T + B times dTds
Aqui, usamos a propriedade de que a derivada de um produto vetorial é a soma das derivadas de cada vetor cruzado com o outro vetor fixo.

Passo 4

Agora, vamos substituir as Fórmulas 1 e 3 nas derivadas que encontramos:
  • Sabemos que dTds = kappa N (Fórmula 1)
  • E dBds = -tau N (Fórmula 3)
Substituindo na equação anterior:
dNds = (-tau N) times T + B times (kappa N)

Passo 5

Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. (-tau N) times T = -tau (N times T)
  2. B times (kappa N) = kappa (B times N)
Sabemos que N = B times T, então:
  • N times T = (B times T) times T = -B (T cdot T) + T (B cdot T) = -B (já que T cdot T = 1 e B cdot T = 0)
  • B times N = B times (B times T) = B (B cdot T) - T (B cdot B) = -T

Passo 6

Substituindo de volta:
dNds = -tau (-B) + kappa (-T) = tau B - kappa T

Resposta

Então, deduzimos que:
dNds = -kappa T + tau B

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