As fórmulas seguintes, chamadas fórmulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial:
(A Fórmula 1 é fornecida a partir do Exercício 57 e da Fórmula 3 vem de Exercício 59.) Use o fato de que
para deduzir Fórmula 2 a partir das Fórmulas 1 e 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as fórmulas de Frenet-Serret, que são super importantes na geometria diferencial para descrever como uma curva se comporta no espaço. A gente precisa usar a relação
, que liga os vetores normal (
), binormal (
) e tangente (
) da curva. Para deduzir a Fórmula 2 usando as Fórmulas 1 e 3, vamos seguir alguns passos básicos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada do vetor normal em relação ao comprimento de arco (
) é aquilo que a Fórmula 2 quer nos mostrar:
. Sabemos que
, então vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto para derivadas de vetores, temos:
Aqui, usamos a propriedade de que a derivada de um produto vetorial é a soma das derivadas de cada vetor cruzado com o outro vetor fixo.
Passo 4
Agora, vamos substituir as Fórmulas 1 e 3 nas derivadas que encontramos:
- Sabemos que
(Fórmula 1) - E
(Fórmula 3)
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Vamos resolver cada termo separadamente:
Sabemos que
, então:
-
(já que e ) -
Passo 6
Substituindo de volta:
Resposta
Então, deduzimos que: