Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma placa retangular de medidas a e b, recortando-se os quatro cantos e dobrando como indicado abaixo. Encontre uma expressão para o volume da caixa como função de x. Em seguida, considerando a = 12 e b = 8, determine as dimensões da caixa para que o volume seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma placa retangular sem tampa, com medidas a = 12 e b = 8. A ideia é recortar os quatro cantos dessa placa e dobrar para formar uma caixa. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para o volume dessa caixa em função de x, que é o tamanho dos cantinhos que vamos recortar. Depois disso, queremos descobrir qual valor de x faz com que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a caixa é formada. Quando recortamos quadrados de lado x nos quatro cantos da placa e dobramos as laterais, a base da caixa terá as dimensões:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura: x
Então, o volume V da caixa pode ser calculado multiplicando essas três dimensões.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para o volume V em função de x:
Substituindo os valores de a e b:

Passo 4

Para simplificar, vamos expandir a expressão:

Passo 5

Agora temos a função do volume em termos de x:
Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, precisamos encontrar o máximo dessa função. Isso envolve calcular a derivada de V(x) em relação a x e igualá-la a zero.

Passo 6

Vamos calcular a derivada de V(x):
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 8

Agora, precisamos verificar qual desses valores de x faz sentido no contexto do problema. Como a = 12 e b = 8, o valor máximo que x pode ter é menor que metade do menor lado, ou seja, . Portanto, não faz sentido, já que excede esse limite. Então, o valor válido é .

Passo 9

Com , vamos encontrar as dimensões da caixa:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

Resposta

As dimensões da caixa para que o volume seja máximo são aproximadamente:
  • Comprimento: unidades
  • Largura: unidades
  • Altura: unidades

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