Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma placa retangular de medidas
e
, recortando-se os quatro cantos e dobrando como indicado abaixo. Encontre uma expressão para o volume da caixa como função de
. Em seguida, considerando
e
, determine as dimensões da caixa para que o volume seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma placa retangular sem tampa, com medidas
e
. A ideia é recortar os quatro cantos dessa placa e dobrar para formar uma caixa. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para o volume dessa caixa em função de
, que é o tamanho dos cantinhos que vamos recortar. Depois disso, queremos descobrir qual valor de
faz com que o volume da caixa seja o maior possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a caixa é formada. Quando recortamos quadrados de lado
nos quatro cantos da placa e dobramos as laterais, a base da caixa terá as dimensões:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
Então, o volume
da caixa pode ser calculado multiplicando essas três dimensões.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão para o volume
em função de
:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Para simplificar, vamos expandir a expressão:
Passo 5
Agora temos a função do volume em termos de
:
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos encontrar o máximo dessa função. Isso envolve calcular a derivada de
em relação a
e igualá-la a zero.
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 8
Agora, precisamos verificar qual desses valores de
faz sentido no contexto do problema. Como
e
, o valor máximo que
pode ter é menor que metade do menor lado, ou seja,
. Portanto,
não faz sentido, já que excede esse limite. Então, o valor válido é
.
Passo 9
Com
, vamos encontrar as dimensões da caixa:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
Resposta
As dimensões da caixa para que o volume seja máximo são aproximadamente:
- Comprimento:
unidades - Largura:
unidades - Altura:
unidades
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PVI: EDO:
CI:
.
Sabe-se que é soluçāo da EDO. Usar o método de redução de ordem para resolver o PVI.
A .
C .
B .
D
PVI:
Sabe-se que
A
C
B
D
Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Utilizando derivadas, determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Calcule a integral de superfície
em que
é a esfera unitária
.
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
e