Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Utilizando derivadas, determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior segmento vertical que pode ser desenhado na região delimitada pela reta
e pela parábola
. Pra isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região que estamos analisando. A reta
e a parábola
se cruzam em alguns pontos. Esses pontos de interseção vão nos ajudar a determinar os limites da nossa análise.
Passo 3
Para encontrar onde a reta e a parábola se encontram, igualamos as duas equações:
Isso dá a gente uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para achar os valores de
onde ocorre a interseção.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 5
Agora, vamos pensar no segmento vertical que estamos procurando. Para um valor qualquer de
dentro dos limites que encontramos, o segmento vai do ponto na parábola até o ponto na reta. Então, o comprimento desse segmento é:
Isso nos dá uma função que representa o comprimento do segmento em termos de
.
Passo 6
Para encontrar o maior comprimento, precisamos maximizar essa função. Vamos chamar essa função de
:
Para achar o máximo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 8
Com
, substituímos na função
para encontrar o comprimento máximo:
Resposta
O maior segmento vertical que pode ser inscrito na região tem comprimento igual a
unidades.
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e
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e
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em que
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.
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
Observação:
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e
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