Considere a região limitada pela reta de equação y = 3x + 6 e pela parábola definida por y = x^2, indicada na figura abaixo. Utilizando derivadas, determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior segmento vertical que pode ser desenhado na região delimitada pela reta e pela parábola . Pra isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região que estamos analisando. A reta e a parábola se cruzam em alguns pontos. Esses pontos de interseção vão nos ajudar a determinar os limites da nossa análise.

Passo 3

Para encontrar onde a reta e a parábola se encontram, igualamos as duas equações:
Isso dá a gente uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para achar os valores de onde ocorre a interseção.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 5

Agora, vamos pensar no segmento vertical que estamos procurando. Para um valor qualquer de dentro dos limites que encontramos, o segmento vai do ponto na parábola até o ponto na reta. Então, o comprimento desse segmento é:
á
Isso nos dá uma função que representa o comprimento do segmento em termos de .

Passo 6

Para encontrar o maior comprimento, precisamos maximizar essa função. Vamos chamar essa função de :
Para achar o máximo, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 7

Calculando a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 8

Com , substituímos na função para encontrar o comprimento máximo:

Resposta

O maior segmento vertical que pode ser inscrito na região tem comprimento igual a unidades.

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