Considere-se o PVI que envolve uma EDO homogênea com coeficientes variáveis
PVI: EDO: t d^2 xd t^2-(1+2 t^2) d xd t=0 (t in R+) ; CI: x(1)=x0 ; x^prime(1)=v0.
Sabe-se que x1(t)=exp (t^2) é soluçāo da EDO. Usar o método de redução de ordem para resolver o PVI.
A x(t)=x0(t^2+3)+2 v0(t^2-1)2(t+1).
C x(t)=x0-v0(exp (t^2)-exp (1))2 exp (1).
B x(t)=x0+v0(exp (t^2)-exp (1))2 exp (1).
D x(t)=x0(t^2-1)+2 v0(t^2+3)2(t+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea com coeficientes variáveis. A EDO dada é:
t d^2xdt^2 - (1 + 2t^2) dxdt = 0
com as condições iniciais e . Sabemos que uma solução da EDO é . Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral e, então, aplicar as condições iniciais para determinar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de redução de ordem. Esse método é usado quando já conhecemos uma solução particular da EDO homogênea. Com uma solução x2(t) = v(t) cdot x1(t) , buscamos uma segunda solução da forma:
onde é uma função a ser determinada.

Passo 3

Vamos derivar dx2dt = v'(t) cdot x1(t) + v(t) cdot dx1dt :
d^2x2dt^2 = v''(t) cdot x1(t) + 2v'(t) cdot dx1dt + v(t) cdot d^2x1dt^2

Passo 4

Substituindo t ( v''(t) x1 + 2v'(t) x1' + v(t) x1'' ) - (1 + 2t^2) ( v'(t) x1 + v(t) x1' ) = 0 , t x1'' - (1 + 2t^2) x1' = 0 e t v''(t) x1 + 2t v'(t) x1' - (1 + 2t^2) v'(t) x1 = 0 na EDO original:
Como é solução da EDO, sabemos que:
Portanto, a equação simplifica para:

Passo 5

Podemos fatorar v'(t) ( t x1 + 2t x1' - (1 + 2t^2) x1 ) = 0 :
t x1 + 2t x1' - (1 + 2t^2) x1 = 0
Para que a equação seja válida para v''(t) = 0 e v(t) = C1 t + C2 , precisamos que:
O que nos leva a:
Integrando duas vezes, obtemos:

Passo 6

Agora, a segunda solução x2(t) = v(t) cdot x1(t) = (C1 t + C2) e^t^2 é:
x(t) = C1 e^t^2 + C2 t e^t^2
A solução geral da EDO é:

Passo 7

Aplicando as condições iniciais x(1) = C1 e^1 + C2 cdot 1 cdot e^1 = x0 e x'(t) = 2t C1 e^t^2 + C2 e^t^2 + 2t C2 t e^t^2 Rightarrow x'(1) = 2 cdot 1 cdot C1 e^1 + C2 e^1 + 2 cdot 1 cdot C2 e^1 = v0 :
C1 e^1 + C2 e^1 = x0
2 C1 e^1 + 3 C2 e^1 = v0
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
C1 + C2 = x0e
2 C1 + 3 C2 = v0e
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2 C1 + 3 C2) - (C1 + C2) = v0e - x0e
C1 + 2 C2 = v0 - x0e
Expressando C1 = v0 - x0e - 2 C2 em função de v0 - x0e - 2 C2 + C2 = x0e :
v0 - x0e - C2 = x0e
Substituindo na primeira equação:
-C2 = x0 + x0 - v0e Rightarrow C2 = 2x0 - v0e
C1 = v0 - x0e - 2 cdot 2x0 - v0e = v0 - x0 - 4x0 + 2v0e = 3v0 - 5x0e
E então:

Passo 9

Substituindo x(t) = ( 3v0 - 5x0e ) e^t^2 + ( 2x0 - v0e ) t e^t^2 e x(t) = (3v0 - 5x0) e^t^2 + (2x0 - v0) t e^t^2e na solução geral:
x(t) = (3v0 - 5x0) + (2x0 - v0) te e^t^2
Podemos simplificar:
x(t) = (3v0 - 5x0) + t(2x0 - v0)e e^t^2
x(t) = (3v0 - 5x0) + t(2x0 - v0)e e^t^2 = (3v0 - 5x0) + t(2x0 - v0)e e^t^2

Passo 10

Comparando com as opções fornecidas, vemos que a solução que corresponde é:
x(t) = x0 + v0 ( e^t^2 - e )2e
Portanto, a opção correta é:

Resposta

B .

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