Considere-se o PVI que envolve uma EDO homogênea com coeficientes variáveis
PVI:
EDO:
CI:
.
Sabe-se que
é soluçāo da EDO. Usar o método de redução de ordem para resolver o PVI.
A
.
C
.
B
.
D
PVI:
Sabe-se que
A
C
B
D
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea com coeficientes variáveis. A EDO dada é:
com as condições iniciais
e
. Sabemos que uma solução da EDO é
. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral e, então, aplicar as condições iniciais para determinar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de redução de ordem. Esse método é usado quando já conhecemos uma solução particular da EDO homogênea. Com uma solução
, buscamos uma segunda solução
da forma:
onde
é uma função a ser determinada.
Passo 3
Vamos derivar
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na EDO original:
Como
é solução da EDO, sabemos que:
Portanto, a equação simplifica para:
Passo 5
Podemos fatorar
:
Para que a equação seja válida para
e
, precisamos que:
O que nos leva a:
Integrando duas vezes, obtemos:
Passo 6
Agora, a segunda solução
é:
A solução geral da EDO é:
Passo 7
Aplicando as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Expressando
em função de
:
Substituindo na primeira equação:
E então:
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos simplificar:
Passo 10
Comparando com as opções fornecidas, vemos que a solução que corresponde é:
Portanto, a opção correta é:
Resposta
B
.
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Considere-se a EDO linear não homogènea de segunda ordem com coeficientes variaivels
Sabe-se que
e
siio soluções da EDO homogènea associada. Usar o método de variaçio dos parametros para determinar a soluçioo geral da EDO completa.
[A] .
BB .
[C]
D]
[A]
BB
[C]
D]
Encontre
ou
.
.
Resolva equaçãos linear:
Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma placa retangular de medidas
e
, recortando-se os quatro cantos e dobrando como indicado abaixo. Encontre uma expressão para o volume da caixa como função de
. Em seguida, considerando
e
, determine as dimensões da caixa para que o volume seja máximo.