Considere-se o PVI que envolve uma EDO homogênea com coeficientes variáveis
PVI: EDO: CI: .
Sabe-se que é soluçāo da EDO. Usar o método de redução de ordem para resolver o PVI.
A .
C .
B .
D

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea com coeficientes variáveis. A EDO dada é:
com as condições iniciais e . Sabemos que uma solução da EDO é . Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral e, então, aplicar as condições iniciais para determinar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de redução de ordem. Esse método é usado quando já conhecemos uma solução particular da EDO homogênea. Com uma solução , buscamos uma segunda solução da forma:
onde é uma função a ser determinada.

Passo 3

Vamos derivar :

Passo 4

Substituindo , e na EDO original:
Como é solução da EDO, sabemos que:
Portanto, a equação simplifica para:

Passo 5

Podemos fatorar :
Para que a equação seja válida para e , precisamos que:
O que nos leva a:
Integrando duas vezes, obtemos:

Passo 6

Agora, a segunda solução é:
A solução geral da EDO é:

Passo 7

Aplicando as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Expressando em função de :
Substituindo na primeira equação:
E então:

Passo 9

Substituindo e na solução geral:
Podemos simplificar:

Passo 10

Comparando com as opções fornecidas, vemos que a solução que corresponde é:
Portanto, a opção correta é:

Resposta

B .

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[A] .
BB .
[C]
D]
Encontre ou . .
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