Calcule a integral de superfície
em que
é a esfera unitária
.
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
e
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera unitária
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a esfera unitária. A parametrização dada é:
Aqui,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Sabemos que a área elementar em coordenadas esféricas é dada por:
Isso vem da fórmula para o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização.
Passo 4
Agora, substituímos
na integral. Na parametrização,
, então
.
Passo 5
A integral fica então:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Isso porque
tem integral média
em um período de
.
Passo 7
Agora, a integral em
:
Usando a identidade
e substituindo
, obtemos:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície
sobre a esfera unitária é
.
Exercícios relacionados
Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Utilizando derivadas, determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma placa retangular de medidas
e
, recortando-se os quatro cantos e dobrando como indicado abaixo. Encontre uma expressão para o volume da caixa como função de
. Em seguida, considerando
e
, determine as dimensões da caixa para que o volume seja máximo.
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.
Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.