Calcule a integral de superfície
integral duplaS x^2 d S
em que S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1.
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
r(phi, theta)=a sen phi cos theta i+a sen phi sen theta j+a cos phi k,
e
|rphi times rtheta|=a^2 sen phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície , onde é a esfera unitária . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a esfera unitária. A parametrização dada é:
r(phi, theta) = sin phi cos theta i + sin phi sin theta j + cos phi k
Aqui, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Sabemos que a área elementar em coordenadas esféricas é dada por:
dS = |rphi times rtheta| dphi dtheta = sin phi , dphi dtheta
Isso vem da fórmula para o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização.

Passo 4

Agora, substituímos na integral. Na parametrização, , então .

Passo 5

A integral fica então:
integral duplaS x^2 d S = integral0^2pi integral0^pi sin^2 phi cos^2 theta cdot sin phi , dphi dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta cdot integral0^pi sin^3 phi , dphi

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi :
Isso porque tem integral média em um período de .

Passo 7

Agora, a integral em integral0^pi sin^3 phi , dphi :
43
Usando a identidade e substituindo , obtemos:

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
pi cdot 43 = 4pi3

Resposta

A integral de superfície sobre a esfera unitária é .

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