Calcule a integral de superfície
em que é a esfera unitária .
Observação:
Lembre-se que a esfera de raio a é descrita por
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície , onde é a esfera unitária . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a esfera unitária. A parametrização dada é:
Aqui, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Sabemos que a área elementar em coordenadas esféricas é dada por:
Isso vem da fórmula para o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização.

Passo 4

Agora, substituímos na integral. Na parametrização, , então .

Passo 5

A integral fica então:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Isso porque tem integral média em um período de .

Passo 7

Agora, a integral em :
Usando a identidade e substituindo , obtemos:

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral de superfície sobre a esfera unitária é .

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